- Aşağıda kg cinsinden ağırlık tartan Şekil 1’deki teraziden
eş ağırlıktaki sarı nesnelerden biri alinip yerine kırmızı
nesne eklendiğinde göstergenin ucu Şekil 1’de 12’deyken
Şekil 2’deki gibi 8 ile 10 arasında herhangi bir yere geliyor.
12
10
Şekil 1
Şekil 2
Buna göre, kırmızI nesnenin kg cinsinden ağırlıiğı
aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 1 + 2
B) /3
C) /6
D) 10
E) 2/3
Terazi Problemi ve Kareköklü Sayılarda Aralık Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Eşitsizlik özellikleri: a < x + c < b \implies a - c < x < b - c
- Pozitif reel sayılarda karekök aralığı: a < x < b \iff a^2 < x^2 < b^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sarı Nesnenin Ağırlığını Belirleme
Şekil 1’de terazinin üzerinde eş ağırlıkta iki sarı nesne bulunmaktadır ve gösterge 12\text{ kg} değerini göstermektedir. Bir sarı nesnenin ağırlığına S dersek:
2 \cdot S = 12 \implies S = 6\text{ kg}
Adım 2 — Kırmızı Nesnenin Değer Aralığını Bulma
Şekil 2’de terazide bir sarı (S) ve bir kırmızı (K) nesne vardır. Gösterge 8 ile 10 arasındadır:
8 < S + K < 10
S = 6\text{ kg} değerini yerine yazıp her taraftan 6 çıkaralım:
8 < 6 + K < 10
8 - 6 < K < 10 - 6
2 < K < 4
Kırmızı nesnenin ağırlığı 2\text{ kg} ile 4\text{ kg} arasında olmalıdır. Bu aralığı kareköklü biçimde ifade edersek:
\sqrt{4} < K < \sqrt{16}
Adım 3 — Seçeneklerin Değer Aralığına Uygunluğunu İnceleme
- A) 1 + \sqrt{2}: \sqrt{2} \approx 1{,}41 olduğundan 1 + 1{,}41 = 2{,}41 olur. 2 < 2{,}41 < 4 aralığındadır.
- B) \sqrt{3}: \sqrt{3} \approx 1{,}73 değerindedir. 1{,}73 < 2 olduğundan bu değer (2, 4) aralığının dışındadır.
- C) \sqrt{6}: 4 < 6 < 16 olduğundan \sqrt{4} < \sqrt{6} < \sqrt{16}, yani 2 < \sqrt{6} < 4 aralığındadır.
- D) \sqrt{10}: 4 < 10 < 16 olduğundan \sqrt{4} < \sqrt{10} < \sqrt{16}, yani 2 < \sqrt{10} < 4 aralığındadır.
- E) 2\sqrt{3}: Katsayıyı kök içine alırsak \sqrt{2^2 \cdot 3} = \sqrt{12} olur. 4 < 12 < 16 olduğundan 2 < \sqrt{12} < 4 aralığındadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) \sqrt{3}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Kareköklü Sayıların Yaklaşık Değeri: Kök içindeki sayı tam kare değilse, kendisine en yakın iki tam kare sayı belirlenerek sınır değerler bulunur (1 < 3 < 4 \implies 1 < \sqrt{3} < 2).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Şekil 1’deki toplam ağırlık olan 12’yi tek bir sarı nesnenin ağırlığı zannedip eşitsizliği 8 < 12 + K < 10 şeklinde kurmak.- Doğru Yaklaşım: Terazide 2 adet sarı nesne olduğunu fark edip bir tanesinin ağırlığının 6\text{ kg} olduğunu hesaplayarak çözüme başlamak.
Benzer bir kareköklü eşitsizlik sorusuyla pratik yapmak ister misin?