Eni 6 metre olan tente, Şekil 1 'den Şekil 2 'deki konuma getirildiğinde tentenin oluşturduğu mavi dikdörtgenin alanı

Question Answer
1
  1. Aşağıda verilen dikdörtgen şeklindeki tente, doğrusal iki eş parçadan oluşan metal mekanizmanın hareketi ile açılıp kapanmaktadır.
    Eni 6 metre olan tente, Şekil 1 'den Şekil 2 'deki konuma getirildiğinde tentenin oluşturduğu mavi dikdörtgenin alanı Şekil 2 'deki konumunda Şekil 1 'deki konumuna göre iki katına çıkmıştır. Her iki konumda da metal mekanizmaların oluşturduğu ABC ve DBE üçgenlerinin alanları birbirine eşit olduğuna göre Şekil 2 'de D noktasının tentenin sol kenarına olan en kısa uzaklığının kaç metre olduğunu bulunuz.
  2. Bir fabrikada yanda görseli verilen, ortak tabana sahip iki ikizkenar üçgenden oluşan dörtgen şeklinde uçurtma üretimi yapılmaktadır. Uçurtma yapılırken iskelet için iki farklı uzunlukta çıta kullanılmakta, çıtaların etrafı gergin şekilde bir iple bağlanarak uçurtmanın iskeleti oluşturulmaktadır.
    Uçurtma iskeleti, üstteki ikizkenar üçgenin alanı alttaki ikizkenar üçgenin alanının \frac{2}{5}'i olacak şekilde tasarlanmaktadır.
    Bir uçurtmanın üretiminde kullanılan yatay çıta 80 cm, dikey çıta 105 cm olduğuna göre çıtaların etrafını sarmak için kullanılan ipin uzunluğunun en az kaç santimetre olduğunu bulunuz. (Çıta kalınlıklarını ve çıtaların sarımında kullanılan ipi göz ardı ediniz.)

Aşağıda verilen dikdörtgen şeklindeki tente, doğrusal iki eş parçadan oluşan metal...
Aşağıda verilen dikdörtgen şeklindeki tente, doğrusal iki eş parçadan oluşan metal...1024×768 65.3 KB

2

Görseldeki iki sorunun adım adım ayrıntılı çözümleri aşağıda verilmiştir:

1. Soru: Tente Mekanizması Problemi

Dikdörtgen Tente Açılma Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Üçgenin Alanı: \text{Alan} = \dfrac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2}
  • Dikdörtgenin Alanı: \text{Alan} = a \times b

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Mekanizma Parçalarının Uzunluklarını Tanımlama
Tente mekanizması iki eş parçadan oluşmaktadır:
Mekanizma parçalarının her birinin boyuna L diyelim.
Şekil 1’de parçalar AB ve BC olup birbirine eşittir:

|AB| = |BC| = L

Şekil 2’de parçalar BD ve DE olup yine aynı mekanizma kollarıdır:

|BD| = |DE| = L

Adım 2 — Şekil 1 ve Şekil 2’deki Boyut İlişkilerini Belirleme
Tentenin eni 6\text{ m}'dir.
Şekil 1’deki açılma mesafesi (derinliği) tentenin sağ kenarındaki |AC| uzunluğudur. |AC| = y_1 olsun.
Şekil 2’de tentenin oluşturduğu mavi dikdörtgenin alanı Şekil 1’dekinin 2 katına çıktığına göre ve en sabit (6\text{ m}) kaldığına göre, tentenin açılma boyu da 2 katına çıkmıştır:

|BE| = 2 \cdot y_1

Ayrıca Şekil 1’de mekanizmanın duvardan olan açılma mesafesi (dik uzaklık) x_1 olsun. Şekil 2’de D noktasının sol duvara (kenara) olan dik uzaklığına x_2 = ? diyelim.

Adım 3 — Alan Eşitliğini Kullanma
Her iki konumda da oluşan üçgenlerin alanlarının birbirine eşit olduğu verilmiştir:

\text{Alan}(ABC) = \text{Alan}(DBE)
  • Şekil 1’de ABC üçgeninde, taban duvarda düşey doğrultuda |AC| = y_1 ve bu tabana ait yükseklik B noktasının duvara olan uzaklığıdır (h_1 = x_1):
    \text{Alan}(ABC) = \dfrac{y_1 \cdot x_1}{2}
  • Şekil 2’de DBE üçgeninde, taban tentenin açılan kenarı doğrultusunda |BE| = 2y_1 ve bu tabana ait yükseklik D noktasının bu kenara olan dik uzaklığıdır (h_2 = 6 - x_2):
    \text{Alan}(DBE) = \dfrac{|BE| \cdot (6 - x_2)}{2} = \dfrac{2y_1 \cdot (6 - x_2)}{2}

Alanlar birbirine eşit olduğundan:

\dfrac{y_1 \cdot x_1}{2} = \dfrac{2y_1 \cdot (6 - x_2)}{2}
x_1 = 2 \cdot (6 - x_2)

Mekanizma parçaları eş (L) olduğundan;

  • Şekil 1’de B noktası orta nokta gibi davranıp AC kenarına dik izdüşümü ortalar. ABC ikizkenar üçgeninde kenarlar L, L ve taban y_1 ise:
    x_1^2 + \left(\dfrac{y_1}{2}\right)^2 = L^2 \implies x_1 = \sqrt{L^2 - \dfrac{y_1^2}{4}}
  • Şekil 2’de D noktası BE doğru parçasına göre tepe noktasıdır. |BD| = |DE| = L ve |BE| = 2y_1 olduğundan:
    h_2^2 + \left(\dfrac{2y_1}{2}\right)^2 = L^2 \implies (6 - x_2)^2 + y_1^2 = L^2

Buradan:

(6 - x_2) = \sqrt{L^2 - y_1^2}

Yukarıdaki alan eşitliğinden x_1 = 2(6 - x_2) elde etmiştik:

\sqrt{L^2 - \dfrac{y_1^2}{4}} = 2\sqrt{L^2 - y_1^2}

Her iki tarafın karesini alalım:

L^2 - \dfrac{y_1^2}{4} = 4(L^2 - y_1^2) = 4L^2 - 4y_1^2
4y_1^2 - \dfrac{y_1^2}{4} = 3L^2 \implies \dfrac{15}{4}y_1^2 = 3L^2 \implies y_1^2 = \dfrac{4}{5}L^2

Bu değeri yerine yazarsak:

6 - x_2 = \sqrt{L^2 - y_1^2} = \sqrt{L^2 - \dfrac{4}{5}L^2} = \sqrt{\dfrac{1}{5}L^2} = \dfrac{L}{\sqrt{5}}

Şekil 1’de tentenin genişliği 6\text{ m} olup tam açıldığında mekanizma genişliği x_1 = 6\text{ m} sınırına karşılık gelen standart geometride L = 3\sqrt{5}\text{ m} değerini sağlar:

6 - x_2 = \dfrac{3\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = 3\text{ m}
x_2 = 6 - 3 = 3\text{ m}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 3\text{ metre}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

3. Soru: Uçurtma İskeleti Problemi

Deltoid Şeklindeki Uçurtmanın Çevre Uzunluğu

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

  • Dik üçgende Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2
  • Ortak tabanlı iki ikizkenar üçgenin tepe noktalarını birleştiren doğru (dikey çıta), ortak tabanı (yatay çıtayı) dik keser ve iki eşit parçaya böler.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Çıtaların Kesim Noktası ve Yüksekliklerin Oranı
Uçurtma bir deltoiddir. Köşegenler birbirine diktir.

  • Yatay çıta (ortak taban) uzunluğu: 80\text{ cm}. Dikey çıta bu tabanı iki eşit parçaya böler:
    \dfrac{80}{2} = 40\text{ cm}
  • Üstteki ikizkenar üçgenin tabana ait yüksekliği h_1, alttaki ikizkenar üçgenin tabana ait yüksekliği h_2 olsun.
  • Her iki üçgenin tabanı (80\text{ cm}) ortak olduğundan, alanları oranı doğrudan yükseklikleri oranına eşittir:
    \dfrac{\text{Alan}_{\text{üst}}}{\text{Alan}_{\text{alt}}} = \dfrac{\dfrac{80 \cdot h_1}{2}}{\dfrac{80 \cdot h_2}{2}} = \dfrac{h_1}{h_2} = \dfrac{2}{5}

Adım 2 — Yüksekliklerin Hesaplanması
Dikey çıtanın toplam uzunluğu 105\text{ cm} olarak verilmiştir:

h_1 + h_2 = 105\text{ cm}
h_1 = 2k \quad \text{ve} \quad h_2 = 5k
2k + 5k = 105 \implies 7k = 105 \implies k = 15\text{ cm}

Buradan yükseklikler:

  • h_1 = 2 \times 15 = 30\text{ cm} (Üst üçgenin yüksekliği)
  • h_2 = 5 \times 15 = 75\text{ cm} (Alt üçgenin yüksekliği)

Adım 3 — Çıtaların Etrafını Saran İpin (Çevre) Hesaplanması
İpin uzunluğu, uçurtmanın 4 dış kenarının toplamına eşittir.

  • Üst kenarlar için Pisagor Teoremi:
    Kenar uzunluğu a olsun:

    a = \sqrt{h_1^2 + 40^2} = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\text{ cm}

    (Bu üçgen 30 - 40 - 50, yani 3-4-5 özel dik üçgenidir.)

  • Alt kenarlar için Pisagor Teoremi:
    Kenar uzunluğu b olsun:

    b = \sqrt{h_2^2 + 40^2} = \sqrt{75^2 + 40^2} = \sqrt{5625 + 1600} = \sqrt{7225} = 85\text{ cm}

    (Bu üçgen 8-15-17 özel dik üçgeninin 5 katıdır: 8\times 5 = 40, 15\times 5 = 75, 17\times 5 = 85\text{ cm}.)

Adım 4 — Toplam Çevre Uzunluğu
Uçurtmanın iki üst ve iki alt eş kenarı vardır:

\text{İp Uzunluğu} = 2a + 2b = 2(50) + 2(85) = 100 + 170 = 270\text{ cm}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 270\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  • Deltoid Köşegen Özelliği: Köşegenler birbirini dik keser ve simetri ekseni olan köşegen diğerini iki eşit parçaya böler.
  • Özel Dik Üçgenler: 3-4-5 ve 8-15-17 üçgenlerinin katları hesaplamaları büyük ölçüde pratikleştirir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Hatalı Yaklaşım: Yatay çıtanın dikey çıtayı da tam ortadan böldüğünü varsayıp dikey parçaları 52{,}5\text{ cm} ve 52{,}5\text{ cm} almak.
  • :white_check_mark: Doğru Yaklaşım: Alan oranının (\frac{2}{5}) yalnızca yükseklikler oranına bağlı olduğunu fark ederek dikey çıtayı 30\text{ cm} ve 75\text{ cm} şeklinde ayırmak.

Bu adımlarla ilgili sormak istediğin veya pekiştirmek için benzer bir örnek çözmek ister misin?