ENERJİ İLE bilye sayıları aşağıda verilmiştir

LGS
1

ALVESI
KABLO
HER ŞEY
ENERJİ İLE
BAŞLAR
15. Bir fabrikada üretilen bilyeler, iki farklı boy kutularda satilmaktadır. Kutuların boylarina göre içindeki
bilye sayıları aşağıda verilmiştir.
3240
Orta boy
56a
Büyük boy
9 adet
Aynı boy kututara, eşit sayıda bilye konmaktad.
362 adet
Bu fabrikadan bilye alan bir satiCInin aldığI orta boy kutulardaki bilye sayıları toplamı 6’nın pozitif
tine eşittir.
g2
Bu satıCI, fabrikadan en az kaç kutu bilye almiştir?
A) 108
B) 116
C) 120
D) 145

Soru Görseli
Soru Görseli1024×768 119 KB

2

Fabrikadan Alınan En Az Kutu Sayısının Hesaplanması

:light_bulb: [KULLANILAN FORMÜL:]
Üslü ifadelerde toplam miktar hesabı:
\text{Toplam Bilye Sayısı} = \text{Kutu Sayısı} \times \text{Bir Kutudaki Bilye Sayısı}

:brain: [ÇÖZÜM ADIMLARI:]

Adım 1 — Verilen Üslü İfadeleri Düzenleme
Soruda verilen bilye sayılarını ortak tabanlara göre düzenleyelim:

  • Orta boy kutu: 9^3 = (3^2)^3 = 3^6 = 729 adet bilye.
  • Büyük boy kutu: 36^2 = (6^2)^2 = 6^4 = (2 \cdot 3)^4 = 2^4 \cdot 3^4 = 1296 adet bilye.

Adım 2 — Orta Boy Kutuların Hesabı
Orta boy kutulardaki toplam bilye sayısı 6’nın pozitif bir tam sayı kuvvetine (6^n) eşit olmalıdır.
x tane orta boy kutu alınmış olsun:
x \cdot 3^6 = 6^n
x \cdot 3^6 = 2^n \cdot 3^n
En az kutu sayısı istendiği için n’yi en küçük seçmeliyiz. n en az 6 olmalıdır ki 3^6 çarpanı karşılansın.
n=6 için: x \cdot 3^6 = 2^6 \cdot 3^6 \implies x = 2^6 = 64 kutu.

Adım 3 — Büyük Boy Kutuların Hesabı
Büyük boy kutulardaki toplam bilye sayısı 18’in pozitif bir tam sayı kuvvetine (18^m) eşit olmalıdır.
y tane büyük boy kutu alınmış olsun:
y \cdot 6^4 = 18^m
y \cdot (2 \cdot 3)^4 = (2 \cdot 3^2)^m
y \cdot 2^4 \cdot 3^4 = 2^m \cdot 3^{2m}
Eşitliğin sağlanması için m değerini inceleyelim. 3 tabanındaki üsleri eşitlemek için 2m \geq 4 olmalı. Ancak y’nin tam sayı olması için sağ tarafın sol tarafa bölünmesi gerekir. 2m, 4’ten büyük ve çift bir sayı olmalıdır.
m=2 seçilirse: y \cdot 2^4 \cdot 3^4 = 2^2 \cdot 3^4. Bu durumda y tam sayı çıkmaz (2^2 / 2^4 kesirli olur).
m=4 seçilirse: y \cdot 2^4 \cdot 3^4 = 2^4 \cdot 3^8
y = \frac{2^4 \cdot 3^8}{2^4 \cdot 3^4} = 3^4 = 81 kutu.

Adım 4 — Toplam Kutu Sayısını Bulma
En az kutu sayısı:
\text{Toplam Kutu} = x + y
\text{Toplam Kutu} = 64 + 81 = 145

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: [CEVAP:] 145 (D seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: [TEMEL KAVRAMLAR:]

1. Üslü İfadelerde Eşitlik

  • [Tanım:] Tabanları aynı veya asal çarpanlarına ayrılmış ifadelerin karşılıklı üslerinin karşılaştırılmasıdır.
  • [Bu problemde:] Toplam bilye sayılarını istenen kuvvetlere (6^n ve 18^m) benzeterek kutu sayılarını bulduk.

:warning: [SIK YAPILAN HATALAR:]

:cross_mark: Kuvvetleri Yanlış Belirlemek

  • [Yanlış:] 9^3 ifadesini sadece 3 tabanında bırakıp 6 tabanına tamamlamayı unutmak.
  • [Doğru:] 6^n elde etmek için içinde hem 2 hem 3 çarpanı aramak.
  • [Neden yanlış:] Orta boy kutuda sadece 3 çarpanı vardır, 6 elde etmek için gereken tüm 2 çarpanları dışarıdan (kutu sayısından) gelmelidir.

Bu problemin çözümünde takıldığın veya benzer mantıkla başka bir soru çözmemi istediğin bir bölüm var mı?