Doğrusal bir hat boyunca 30 cm aralıklarla işaretlenmiş noktalar, 0’dan başlayarak ardışık doğal sayılar ile numaralandırılmıştır.
En son noktaya karşılık gelen A sayısı, asal çarpanları 5 ve 7 olan üç basamaklı bir doğal sayıdır.
Buna göre, ilk nokta ile en son nokta arasındaki mesafe en az kaç santimetredir?
A) 3120
B) 3150
C) 5250
D) 5280
Asal Çarpanlar ve Sayı Doğrusunda Mesafe Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Asal çarpanları yalnızca 5 ve 7 olan bir sayı x, y \in \mathbb{Z}^+ olmak üzere A = 5^x \cdot 7^y biçiminde yazılır. 0’dan başlayarak ardışık tam sayılarla numaralandırılmış bir doğrusal hatta, 0 ile A arasındaki toplam mesafe A \times (\text{aralık uzunluğu}) formülüyle bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — En Küçük Üç Basamaklı A Sayısını Bulma
A sayısının asal çarpanları yalnızca 5 ve 7 olduğundan, kuvvetleri en küçük pozitif tam sayılar seçilerek üç basamaklı en küçük değer araştırılır:
- x = 1, y = 1 \implies 5^1 \cdot 7^1 = 35 (iki basamaklı)
- x = 2, y = 1 \implies 5^2 \cdot 7^1 = 25 \cdot 7 = 175 (üç basamaklı)
- x = 1, y = 2 \implies 5^1 \cdot 7^2 = 5 \cdot 49 = 245 (üç basamaklı)
Bu şartı sağlayan en küçük üç basamaklı doğal sayı A = 175 olur.
A_{\min} = 5^2 \cdot 7^1 = 175
Adım 2 — İlk ve Son Nokta Arasındaki Mesafeyi Hesaplama
Her ardışık iki nokta arasındaki mesafe 30\text{ cm}'dir. 0 noktasından A = 175 noktasına kadar toplam 175 adet 30\text{ cm}'lik aralık bulunmaktadır:
\text{Toplam Mesafe} = 175 \times 30 = 5250\text{ cm}
CEVAP: C) 5250 (A = 175 için mesafe 5250\text{ cm})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Sorudaki en büyük çeldirici B seçeneğidir (3150). 35’in 3 basamaklı en küçük katı 105 (35 \times 3) olarak alınırsa 105 \times 30 = 3150 bulunur; ancak 105’in asal çarpanları 3, 5 ve 7’dir. Sayının asal çarpanları arasında 3 bulunamayacağı için A = 105 alınamaz.