Aşağıda A ve B bitkilerinin yetişebildiği en yüksek ve en düşük sıcaklık değerleri verilmiştir.
| | En Düşük Sıcaklık (°C) | En Yüksek Sıcaklık (°C) |
|1---------- | 1--------------------- |$ 1---------------------- |
| A Bitkisi | -12 | 10 |
| B Bitkisi | -25 | 8 |
Buna göre, bu iki bitkinin aynı ortamda yetişebilmesi için ortam sıcaklığının °C cinsinden alabileceği değerler (x) aşağıdakilerden hangisi ile ifade edilebilir?
A) |x+8| \leq 2
B) |x+6| \leq 2
C) |x-21| \leq 10
D) |x+2| \leq 10
E) |x+3| \leq 11
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
A ve B Bitkilerinin Aynı Ortamda Yetişebileceği Sıcaklık Değerlerinin Mutlak Değerli İfadesi
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
-
Aralıkların Kesişimi: İki farklı koşulun aynı anda sağlanması için aralıkların kesişim kümesi alınır.
[a, b] \cap [c, d] = [\max(a, c), \min(b, d)] -
Aralığın Mutlak Değer Eşitsizliğine Dönüştürülmesi: [k_1, k_2] kapalı aralığı için:
- Orta Nokta (m): m = \frac{k_1 + k_2}{2}
- Yarıçap / Uzaklık (r): r = \frac{k_2 - k_1}{2}
- Mutlak Değerli Eşitsizlik: |x - m| \leq r
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bitkilerin Yaşayabildiği Sıcaklık Aralıklarını Belirleme
- A Bitkisi: En düşük -12^\circ\text{C}, en yüksek 10^\circ\text{C} sıcaklıkta yetişebildiğinden aralığı:-12 \leq x \leq 10
- B Bitkisi: En düşük -25^\circ\text{C}, en yüksek 8^\circ\text{C} sıcaklıkta yetişebildiğinden aralığı:-25 \leq x \leq 8
Adım 2 — Ortak Sıcaklık Aralığını (Kesişim Kümesini) Bulma
İki bitkinin aynı ortamda birlikte yetişebilmesi için sıcaklığın her iki aralığı da aynı anda sağlaması gerekir:
- Alt sınır: \max(-12, -25) = -12
- Üst sınır: \min(10, 8) = 8
Buradan ortak sıcaklık aralığı elde edilir:
-12 \leq x \leq 8
Adım 3 — Aralığı Mutlak Değer Formuna Çevirme
Ortak aralığın orta noktasını ve sınır noktalarına olan uzaklığını hesaplayalım:
- Orta Nokta (m):m = \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2
- Yarıçap (r):r = \frac{8 - (-12)}{2} = \frac{20}{2} = 10
Bu değerleri |x - m| \leq r formülünde yerine yazalım:
|x - (-2)| \leq 10
|x + 2| \leq 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı: |x + 2| \leq 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değerli Eşitsizlikler
- Tanım: |x - a| \leq r ifadesi, x sayısının sayı doğrusu üzerinde a noktasına olan uzaklığının en fazla r birim olduğunu belirtir.
- Bu problemde: Ortam sıcaklığı olan x’in -2^\circ\text{C} noktasına olan uzaklığı en fazla 10^\circ\text{C} olmalıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Kesişim Yerine Birleşim Kümesi Almak
- Yanlış: En geniş sınırları alıp -25 \leq x \leq 10 aralığını incelemek.
- Doğru: Her iki bitkinin aynı anda yaşaması istendiği için alt sınırların en büyüğü (-12), üst sınırların en küçüğü (8) seçilmelidir.
- Neden yanlış: Sıcaklık örneğin -20^\circ\text{C} olursa B bitkisi yaşayabilir fakat A bitkisi -12^\circ\text{C}'nin altına dayanamadığı için aynı ortamda birlikte yaşayamazlar.
Bu tip mutlak değer aralık sorularını pekiştirmek için benzer bir soru çözmemi ister misin?
A ve B Bitkilerinin Ortak Yaşama Sıcaklık Aralığı
KULLANILAN FORMÜL:
Bir [a, b] kapalı aralığını mutlak değerli eşitsizlik şeklinde ifade etmek için:
\left| x - \frac{a+b}{2} \right| \leq \frac{b-a}{2}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Bitkilerin Yetişme Aralıklarını Belirleme
- A Bitkisi: -12 \leq x \leq 10
- B Bitkisi: -25 \leq x \leq 8
Adım 2 — Kesişim (Ortak) Aralığı Bulma
İki bitkinin aynı ortamda yaşayabilmesi için her iki şartı da sağlaması gerekir:
- Alt Sınır: \max(-12, -25) = -12
- Üst Sınır: \min(10, 8) = 8
- Ortak Aralık: -12 \leq x \leq 8
Adım 3 — Mutlak Değerli Eşitsizliğe Dönüştürme
- Orta Nokta (Merkez): \frac{-12 + 8}{2} = \frac{-4}{2} = -2
- Yarıçap (Mesafe): \frac{8 - (-12)}{2} = \frac{20}{2} = 10
Formüle yerleştirdiğimizde:
|x - (-2)| \leq 10 \implies |x + 2| \leq 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) |x+2| \leq 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Kesişim Kümesi
- Tanım: İki veya daha fazla eşitsizliğin aynı anda sağlandığı ortak bölgedir.
- Bu problemde: Alt sınırların büyüğü (-12), üst sınırların küçüğü (8) alınarak ortak aralık [-12, 8] olarak bulunmuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış Uç Nokta Seçimi
- Yanlış: Aralıkları birleştirip [-25, 10] almak.
- Doğru: Her iki bitkinin de yaşayabilmesi için ortak bölgeyi [-12, 8] almak.
- Neden yanlış: Sıcaklık 9^\circ\text{C} olursa A bitkisi yaşar ancak B bitkisi yaşayamaz; ortam her ikisine de uygun olmalıdır.
Bu tip mutlak değerli aralık sorularını pekiştirmek için benzer bir örnek soru daha çözmemi ister misin?
cevap neden d emin misin kısaca anlat
D Şıkkının Doğruluğunun Kısa ve Net Açıklaması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
|u| \leq a \iff -a \leq u \leq a kuralı uygulanır ve iki bitkinin aynı anda yaşayabilmesi için ortak aralık (kesişim) alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ortak Aralığı Belirleme
- A Bitkisi: -12^\circ\text{C} ile 10^\circ\text{C} arasında yaşar.
- B Bitkisi: -25^\circ\text{C} ile 8^\circ\text{C} arasında yaşar.
- İkisinin aynı anda yaşaması için sıcaklık -12^\circ\text{C}'den düşük olamaz (A donar), 8^\circ\text{C}'den yüksek olamaz (B sıcaktan ölür).
- Ortak yaşama aralığı: -12 \leq x \leq 8
Adım 2 — D Şıkkını Açarak Sağlama Yapma
|x + 2| \leq 10
-10 \leq x + 2 \leq 10
Her taraftan 2 çıkaralım:
-10 - 2 \leq x \leq 10 - 2
-12 \leq x \leq 8
Bulunan aralık, ortak aralık ile birebir aynıdır.
Adım 3 — E Şıkkının Neden Yanlış Olduğunu Görme
|x + 3| \leq 11 \implies -11 \leq x + 3 \leq 11 \implies -14 \leq x \leq 8
-14^\circ\text{C} sıcaklıkta A bitkisi (en az -12^\circ\text{C}'ye dayanabildiği için) yaşayamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Kesinlikle D) |x + 2| \leq 10
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değer Açılımı
- Tanım: |x - m| \leq r eşitsizliği m - r \leq x \leq m + r aralığını verir.
- Bu problemde: m = -2 ve r = 10 için aralık [-2-10, -2+10] = [-12, 8] olur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Alt Sınır Kontrolünü Atlamak
- Yanlış: Sadece üst sınıra (8) bakıp E şıkkını doğru sanmak.
- Doğru: Alt sınır -12 olmalıdır; E şıkkı alt sınırı -14 yaptığı için A bitkisinin sınırını aşar.
- Neden yanlış: Ortamdaki sıcaklık her iki bitkinin de tolerans aralığında kalmalıdır.
Mutlak değer eşitsizliklerinin sayı doğrusu üzerindeki pratik mantığını başka bir örnekle pekiştirmek ister misin?