En Büyük ve En Küçük Değer
r doğal sayı olmak üzere,
3a
+4b =84
eşitliği veriliyor.
Buna göre, verilen eşitliği sağlayan kaç farklı (a, b)
Siralı ikilisi vardır?
A) 6
B)7
c)8
D) 9
E) 10
3a + 4b = 84 Eşitliğini Sağlayan (a, b) Doğal Sayı İkilileri
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Bu bir Lineer Diofant Denklemidir. ax + by = c formundaki denklemlerde, bir çözüm bulunduktan sonra diğer çözümler katsayıların katları oranında artar veya azalır. a ve b doğal sayılar (\mathbb{N} = \{0, 1, 2, ...\}) kümesine dahil olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — İlk Çözümü Bulma (Uç Değerler)
Denklemde değişkenlerden birine en küçük doğal sayı değerini vererek başlayalım.
b = 0 olsun:
3a + 4(0) = 84
3a = 84
a = 28
İlk sıralı ikilimiz: (28, 0). Bu bir doğal sayı ikilisidir.
Adım 2 — Değişim Oranını Belirleme
3a + 4b = 84 denkleminde;
- a değeri, b’nin katsayısı olan 4 kadar azalırken,
- b değeri, a’nın katsayısı olan 3 kadar artacaktır.
Bu kuralı uygulayarak tüm ikilileri listeleyelim:
- (28, 0) — (Başlangıç)
- (28-4, 0+3) \rightarrow (24, 3)
- (24-4, 3+3) \rightarrow (20, 6)
- (20-4, 6+3) \rightarrow (16, 9)
- (16-4, 9+3) \rightarrow (12, 12)
- (12-4, 12+3) \rightarrow (8, 15)
- (8-4, 15+3) \rightarrow (4, 18)
- (4-4, 18+3) \rightarrow (0, 21)
Adım 3 — Sınır Kontrolü
Bir sonraki adımda a değeri 0-4 = -4 olacaktır. Ancak soruda a ve b’nin doğal sayı olduğu belirtildiği için negatif değerler alınamaz. Bu nedenle liste (0, 21) noktasında biter.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 8 farklı (a, b) sıralı ikilisi vardır. (C seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğal Sayılar
- Tanım: 0’dan başlayıp sonsuza giden tam sayılardır.
- Bu problemde: Çözüm kümesinde hem a hem de b için 0 değerinin dahil edilmesi gerektiğini hatırlatır.
2. Katsayı İlişkisi
- Tanım: Bir denklemde değişkenlerin artış/azalış miktarları birbirinin katsayılarına bağlıdır.
- Bu problemde: a dörder dörder azalırken b üçer üçer artarak dengeyi korumuştur.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sıfırı Unutmak
- Yanlış: Sadece 1’den başlayan değerleri saymak.
- Doğru: Doğal sayılar kümesi 0 elemanını içerir. (28, 0) ve (0, 21) çözümleri mutlaka dahil edilmelidir.
- Neden yanlış: Eğer sıfırları saymasaydınız cevabı 6 bulurdunuz, bu da hatalı bir sonuç olurdu.
Bu tür denklemlerde terim sayısını bulmak için son terimden ilk terimi çıkarıp artış miktarına bölüp 1 ekleme formülünü ( \frac{Son - İlk}{Artış} + 1 ) de kullanabilirsin. Bu yöntemi bir sonraki soruda denememi ister misin?