- Asal bölen sayıs, en az iki olan A sayısı için,
En büyük ve en küçük asal çarpanların farkının
pozitif değeri.
şeklinde tanımlaniyor.
Buna göre,
eşitliğinde A sayısi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 16
B) 45
c)75
D) 77
E) 96
Sayısal Asal Çarpan Farkı Problemi
KURAL / TANIM KULLANILDI:
Bir A sayısı için, asal bölen sayısı en az iki ise, altıgen içindeki A sembolü, A sayısının en büyük ve en küçük asal çarpanlarının pozitif farkını ifade eder. Yani, EBA(A) - EKA(A), burada EBA(A) en büyük asal çarpanı ve EKA(A) en küçük asal çarpanı temsil eder.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Verilen Eşitliği Yorumlama
Soruda verilen eşitlik, altıgen içindeki 2 \cdot A ile altıgen içindeki 3 \cdot A değerlerinin birbirine eşit olduğunu belirtiyor:
\text{Altıgen}(2 \cdot A) = \text{Altıgen}(3 \cdot A)
Bu, 2 \cdot A sayısının en büyük ve en küçük asal çarpanları farkının, 3 \cdot A sayısının en büyük ve en küçük asal çarpanları farkına eşit olduğu anlamına gelir.
Adım 2 — Seçenekleri İnceleme Stratejisi
Seçeneklerdeki A değerlerini tek tek deneyerek eşitliği sağlayan seçeneği bulmalıyız. Her seçenek için A, 2 \cdot A ve 3 \cdot A sayılarının asal çarpanlarını bulup farklarını hesaplayacağız.
Adım 3 — A) 16 seçeneğini inceleme
A = 16 = 2^4
Asal bölen sayısı 1’dir (sadece 2). Tanıma göre “asal bölen sayısı en az iki olan A sayısı için” ifadesi geçerli olmadığından, 16 bu kurala uymaz. Bu seçeneği eliyoruz.
Adım 4 — B) 45 seçeneğini inceleme
A = 45 = 3^2 \cdot 5
En küçük asal çarpanı 3, en büyük asal çarpanı 5.
2 \cdot A = 2 \cdot 45 = 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5. Asal çarpanları \{2, 3, 5\}.
EKA(90) = 2, EBA(90) = 5. Fark = 5 - 2 = 3.
3 \cdot A = 3 \cdot 45 = 135 = 3^3 \cdot 5. Asal çarpanları \{3, 5\}.
EKA(135) = 3, EBA(135) = 5. Fark = 5 - 3 = 2.
3 \ne 2 olduğundan, A=45 doğru cevap değildir.
Adım 5 — C) 75 seçeneğini inceleme
A = 75 = 3 \cdot 5^2
En küçük asal çarpanı 3, en büyük asal çarpanı 5.
2 \cdot A = 2 \cdot 75 = 150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2. Asal çarpanları \{2, 3, 5\}.
EKA(150) = 2, EBA(150) = 5. Fark = 5 - 2 = 3.
3 \cdot A = 3 \cdot 75 = 225 = 3^2 \cdot 5^2. Asal çarpanları \{3, 5\}.
EKA(225) = 3, EBA(225) = 5. Fark = 5 - 3 = 2.
3 \ne 2 olduğundan, A=75 doğru cevap değildir.
Adım 6 — D) 77 seçeneğini inceleme
A = 77 = 7 \cdot 11
En küçük asal çarpanı 7, en büyük asal çarpanı 11.
2 \cdot A = 2 \cdot 77 = 154 = 2 \cdot 7 \cdot 11. Asal çarpanları \{2, 7, 11\}.
EKA(154) = 2, EBA(154) = 11. Fark = 11 - 2 = 9.
3 \cdot A = 3 \cdot 77 = 231 = 3 \cdot 7 \cdot 11. Asal çarpanları \{3, 7, 11\}.
EKA(231) = 3, EBA(231) = 11. Fark = 11 - 3 = 8.
9 \ne 8 olduğundan, A=77 doğru cevap değildir.
Adım 7 — E) 96 seçeneğini inceleme
A = 96 = 2^5 \cdot 3
En küçük asal çarpanı 2, en büyük asal çarpanı 3.
2 \cdot A = 2 \cdot 96 = 192 = 2^6 \cdot 3. Asal çarpanları \{2, 3\}.
EKA(192) = 2, EBA(192) = 3. Fark = 3 - 2 = 1.
3 \cdot A = 3 \cdot 96 = 288 = 2^5 \cdot 3^2. Asal çarpanları \{2, 3\}.
EKA(288) = 2, EBA(288) = 3. Fark = 3 - 2 = 1.
1 = 1 olduğundan, A=96 doğru cevaptır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 96
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Asal Çarpanlara Ayırma
- Tanım: Bir sayıyı yalnızca asal sayılardan oluşan çarpanların çarpımı şeklinde yazma işlemidir. Örneğin, 96 = 2^5 \cdot 3.
- Bu problemde: Seçeneklerdeki sayıları ve onların 2 katı ile 3 katını asal çarpanlarına ayırarak en küçük ve en büyük asal çarpanlarını belirledik.
2. Asal Bölen Sayısı
- Tanım: Bir sayının asal çarpanlarının sayısını ifade eder. Örneğin, 96’nın asal bölenleri 2 ve 3’tür, yani asal bölen sayısı 2’dir.
- Bu problemde: Tanımda A sayısının asal bölen sayısının en az iki olması gerektiği belirtildiği için A=16 (asal bölen sayısı 1) seçeneğini eledik.
SIK YAPILAN HATALAR:
Asal Bölen Sayısını Gözden Kaçırmak
- Yanlış: A=16 gibi tek bir asal çarpanı olan sayıları tanıma uygun kabul etmek.
- Doğru: Problemde verilen “asal bölen sayısı en az iki olan A sayısı için” koşuluna dikkat etmek.
- Neden yanlış: Bu koşul, A=16 gibi sayıların tanımın kapsamı dışında kalmasına neden olur.
Asal Çarpanları Eksik Bulmak
- Yanlış: Bir sayının asal çarpanlarını tam olarak belirleyememek, örneğin 90’ın çarpanları olarak sadece 9 ve 10’u görüp asal çarpanlara ayırmayı tamamlamamak.
- Doğru: Tüm çarpanlar asal olana kadar ayırma işlemini sürdürmek. 90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5.
- Neden yanlış: En küçük ve en büyük asal çarpanlar yanlış tespit edilir, bu da farkın hatalı hesaplanmasına yol açar.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir asal çarpan problemi çözmemi ister misin?