En büyük dereceli teriminin katsayısı 1 olan dördüncü dereceden bir P(x) polinomunun kökleri 0, -1, -2 ve -3’tür.
Buna göre, P(x) polinomunun alabileceği en küçük değer kaçtır?
A) -6
B) -3
C) -1
D) 0
E) 1
Dördüncü Dereceden Polinomun Alabileceği En Küçük Değer
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Kökleri verilen bir polinom P(x) = a(x - x_1)(x - x_2)(x - x_3)(x - x_4) biçiminde yazılır. Ardışık veya simetrik çarpanlar uygun şekilde gruplandırılıp değişken değiştirme (u = x^2 + 3x) ve tam kareye tamamlama yöntemleri uygulanarak fonksiyonun mutlak minimum değeri bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Polinomun Denklemini Oluşturma
Baş katsayısı 1 ve kökleri 0, -1, -2, -3 olan dördüncü dereceden P(x) polinomunu yazalım:
P(x) = 1 \cdot (x - 0)(x - (-1))(x - (-2))(x - (-3)) = x(x + 1)(x + 2)(x + 3)
Adım 2 — Çarpanları Gruplandırma ve Değişken Değiştirme
Toplamları eşit olacak şekilde birinci çarpan ile dördüncü çarpanı, ikinci çarpan ile üçüncü çarpanı eşleştirelim:
P(x) = [x(x + 3)] \cdot [(x + 1)(x + 2)] = (x^2 + 3x)(x^2 + 3x + 2)
Burada u = x^2 + 3x dönüşümü yaparsak:
P(u) = u(u + 2) = u^2 + 2u = (u + 1)^2 - 1
Adım 3 — Minimum Değerin Hesaplanması ve Gerçel Kök Kontrolü
(u + 1)^2 \ge 0 olduğundan, ifadenin alabileceği en küçük değer u + 1 = 0, yani u = -1 durumunda gerçekleşir:
P_{\min} = (-1 + 1)^2 - 1 = -1
u = x^2 + 3x = -1 \implies x^2 + 3x + 1 = 0 denkleminin diskriminantı \Delta = 3^2 - 4(1)(1) = 5 > 0 olduğundan, u = -1 değerini sağlayan reel x değerleri (x = \frac{-3 \pm \sqrt{5}}{2}) mevcuttur. Dolayısıyla en küçük değer -1’dir.
CEVAP: C) -1 (P_{\min} = -1)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: x(x+1)(x+2)(x+3) biçimindeki ardışık çarpanların çarpımına 1 eklendiğinde ifade tam kare olur: x(x+1)(x+2)(x+3) + 1 = (x^2+3x+1)^2 \ge 0. Buradan ifadenin en küçük değerinin doğrudan -1 olduğu pratik olarak görülebilir.