abCz3
Elinde 1 milyon TL’si olan Ziynet Hanım her gün elinde kalan
parasinın
j ile altinalmaktadr.
Ziynet Hanım 6 gün boyunca altın aldığına göre, 6. günün
sonunda elinde kaç TL’si kalmiştır?
A) 212
B) 214
C) 216
D) 18
E) 220
16 Yikseklikteril8
im olan dik dairesel silindir biçimindekiöz-
Elinde 1 milyon TL’si olan Ziynet Hanım’ın 6. gün sonundaki parası
KULLANILAN FORMÜL:
Bir miktarın belirli bir oranı harcandığında geriye kalan miktar şu formülle hesaplanır:
\text{Kalan Miktar} = \text{Başlangıç Miktarı} \times (1 - \text{Harcama Oranı})^n
Burada n geçen gün sayısını temsil eder.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Başlangıç miktarını ve günlük kalan oranı belirleme
Ziynet Hanım’ın başlangıçtaki parası 1.000.000 TL’dir. Her gün parasının \frac{1}{5}'i ile altın alıyorsa, geriye her gün parasının 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}'i kalıyor demektir.
Adım 2 — Sayıları üslü ifadeye çevirme
İşlemleri kolaylaştırmak için sayıları 2 ve 5 tabanında yazalım:
- 1.000.000 = 10^6 = (2 \times 5)^6 = 2^6 \times 5^6
- Geriye kalan oran: \frac{4}{5} = \frac{2^2}{5}
Adım 3 — 6. günün sonundaki miktarı hesaplama
Her gün para \frac{2^2}{5} katına çıktığına göre, 6 günün sonunda kalan para:
\text{Kalan} = (2^6 \times 5^6) \times \left(\frac{2^2}{5}\right)^6
Adım 4 — Üslü ifadelerle işlem yapma
Üssün üssü kuralını uygulayalım (\frac{2^2}{5})^6 = \frac{2^{12}}{5^6}:
\text{Kalan} = 2^6 \times 5^6 \times \frac{2^{12}}{5^6}
Pay ve paydadaki 5^6 ifadeleri birbirini sadeleştirir:
\text{Kalan} = 2^6 \times 2^{12}
Tabanlar aynı olduğunda üsler toplanır:
\text{Kalan} = 2^{6+12} = 2^{18}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 2¹⁸ (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Azalan Miktarlar
- Tanım: Her adımda belirli bir oranda eksilen süreklilik arz eden problemlerdir.
- Bu problemde: Altın alınan miktar değil, “kalan” miktar üzerinden işlem yapıldığı için her gün para 4/5 oranında korunmuştur.
2. Üslü Sayılarda Çarpma ve Bölme
- Tanım: Tabanları aynı olan üslü sayılar çarpılırken üsler toplanır, bölünürken çıkarılır.
- Bu problemde: 10^6 ifadesini parçalamak 5^6 değerlerinden kurtulmamızı sağlamıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Sadece Harcanan Kısmı Hesaplamak
- Yanlış: Sürekli \frac{1}{5} ile çarpıp 6. günü bulmaya çalışmak.
- Doğru: Soru kalan parayı sorduğu için doğrudan kalan oran olan \frac{4}{5} ile işlem yapılmalıdır.
- Neden yanlış: Harcanan üzerinden gitmek, her adımda çıkarma işlemi yapmanızı gerektirir ve işlem çok uzar.
Bu çözümde üslü sayılar arasındaki geçişleri net bir şekilde görebilirsin. Benzer bir şekilde, her gün parasını 2 katına çıkaran bir yatırımcı sorusu çözmemi ister misin?