- Kenarlarının uzunlukları santimetre cinsinden 1’den büyük tam sayı olan dikdörtgen şeklindeki kartonlar ve bu kartonların bir yüzlerinin alanları yukarıda verilmiştir. Bu kartonlar aralarında boşluk kalmayacak ve üst üste gelmeyecek şekilde birleştirildiğinde aşağıdaki şekil elde ediliyor.
Elde edilen şekilden makas yardımıyla kesikli çizgi boyunca dikdörtgen şeklinde bir karton parçası kesilip atıldığında geriye kalan şekil dikdörtgen olmaktadır. Buna göre, kesilip atılan parçanın uzunluğu en az kaç santimetredir?
A) 40
B) 42
C) 44
D) 46
E) 48
Dikdörtgen Parçanın Çevresinin Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- \text{Dikdörtgenin Alanı} = a \cdot b
- \text{Dikdörtgenin Çevresi} = 2 \cdot (a + b)
- Ortak kenara sahip dikdörtgenlerin bu kenar uzunluğu, alanlarının ortak bir böleni (EBOB ile ilişkili) olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sol Taraftaki Dikdörtgenlerin Kenar Uzunluklarını Belirleme
Şeklin sol tarafında üst üste yerleştirilen iki dikdörtgenin sol ve sağ kenarları aynı hizada olduğundan, bu iki dikdörtgenin genişlikleri (yatay kenarları) birbirine eşit olmalıdır. Kenar uzunlukları 1’den büyük tam sayılar olduğundan, genişlik 35 ve 20’nin 1’den büyük ortak böleni olmalıdır:
\text{EBOB}(35, 20) = 5\text{ cm}
Buradan sol taraftaki dikdörtgenlerin boyutları:
- 35\text{ cm}^2 olan kartonun kenarları: 5\text{ cm} ve 7\text{ cm}
- 20\text{ cm}^2 olan kartonun kenarları: 5\text{ cm} ve 4\text{ cm}
Bu iki karton üst üste konulduğunda sol tarafın toplam yüksekliği:
H_{\text{sol}} = 7 + 4 = 11\text{ cm}
Adım 2 — Sağdaki Dikdörtgenin (66\text{ cm}^2) Olası Boyutlarını İnceleme
Sağdaki kartonun alanı 66\text{ cm}^2 olup kenar uzunlukları 1’den büyük tam sayılardır. Çarpımı 66 olan tam sayı çiftleri şunlardır:
- 2 \times 33
- 3 \times 22
- 6 \times 11
Şekilde sağdaki parça sol taraftaki 11\text{ cm}'lik kısımdan daha aşağıya uzandığı için, sağdaki kartonun yüksekliği (h) kesinlikle sol tarafın yüksekliği olan 11\text{ cm}'den büyük olmalıdır (h > 11). Bu şartı sağlayan iki olası durum vardır:
- Yükseklik h = 22\text{ cm} ve Genişlik w = 3\text{ cm}
- Yükseklik h = 33\text{ cm} ve Genişlik w = 2\text{ cm}
Adım 3 — Kesilip Atılan Parçanın Çevresini Hesaplama ve En Küçük Değeri Bulma
Geriye kalan şeklin bir dikdörtgen olması için, sol tarafın alt hizasından (11\text{ cm} seviyesinden) itibaren aşağıya taşan kısım kesilip atılmalıdır. Taşan bu parçanın yüksekliği \Delta h = h - 11, genişliği ise w olur.
-
1. Durum (h = 22\text{ cm}, w = 3\text{ cm} için):
- Taşan parçanın yüksekliği: \Delta h = 22 - 11 = 11\text{ cm}
- Taşan parçanın genişliği: w = 3\text{ cm}
\text{Çevre} = 2 \cdot (11 + 3) = 2 \cdot 14 = 28\text{ cm} -
2. Durum (h = 33\text{ cm}, w = 2\text{ cm} için):
- Taşan parçanın yüksekliği: \Delta h = 33 - 11 = 22\text{ cm}
- Taşan parçanın genişliği: w = 2\text{ cm}
\text{Çevre} = 2 \cdot (22 + 2) = 2 \cdot 24 = 48\text{ cm}
Bizden kesilen parçanın çevresinin en az değeri istendiğinden küçük olan değer seçilir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 28\text{ cm}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ortak Bölen: Yan yana veya üst üste bitişik olan geometrik şekillerin çakışan kenarları eşit uzunluktadır ve bu uzunluk her iki alanın ortak böleni olmak zorundadır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 66\text{ cm}^2’lik kartonu 6 \times 11 olarak seçip taşan kısmı 0 kabul etmek. Bu durumda şekilden parça kesilmesine gerek kalmazdı; oysa soruda kesilen bir parça olduğu belirtilmiştir.- Doğru Yaklaşım: Şekilde sağ tarafın aşağı sarktığı dikkate alınarak yüksekliğin 11\text{ cm}'den büyük bölenler (22 veya 33) arasından seçilmesi gerekir.
Bu konuyla ilgili EBOB-EKOK mantığını pekiştirecek benzer bir LGS sorusu çözmek ister misin?