Kısa kenarı 8 birim olan dikdörtgen biçiminde kâğıt parçası aşağıdaki şekilde gösterildiği gibi |KL| = |AL| olacak biçimde KL boyunca kesilerek iki eş parçaya ayrılıyor.
Elde edilen parçalardan birinin alanı 56 birimkare olduğuna göre bu parçalardan birinin çevresi kaç birim olabilir?
A) 28
B) 29
C) 30
D) 31
E) 32
Dikdörtgenin Eş Parçalara Ayrılması ve Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Yamuğun Alanı: \text{Alan} = \dfrac{a + c}{2} \cdot h
- Pisagor Teoremi: Bir dik üçgende dik kenarlar a ve b, hipotenüs c olmak üzere; a^2 + b^2 = c^2
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Eş Parçaların ve Kenar Uzunluklarının Belirlenmesi
Dikdörtgen KL çizgisi boyunca kesilerek iki eş dik yamuğa ayrılmıştır. Bu durumda karşılıklı kenar parçaları eşit olur:
|DK| = |BL| \quad \text{ve} \quad |AL| = |KC|
Yamuklardan birinin (ADKL) alanı 56\text{ birim}^2 ve yüksekliği |AD| = 8\text{ birim} olarak verilmiştir:
\text{Alan}(ADKL) = \frac{|DK| + |AL|}{2} \cdot |AD| = 56
\frac{|DK| + |AL|}{2} \cdot 8 = 56 \implies |DK| + |AL| = 14\text{ birim}
Adım 2 — Dik Üçgen Oluşturma ve Pisagor Bağıntısı
K noktasından [AB] tabanına bir dikme indirelim ve bu noktaya K' diyelim.
- |KK'| = |AD| = 8\text{ birim}
- |AK'| = |DK| olduğundan, |K'L| = |AL| - |DK| olur.
- Soruda |KL| = |AL| olarak verilmiştir.
|AL| = x dersek; |DK| = 14 - x olur.
Buna bağlı olarak dik kenar:
|K'L| = x - (14 - x) = 2x - 14
KK'L dik üçgeninde Pisagor teoremini uygulayalım:
|KK'|^2 + |K'L|^2 = |KL|^2
8^2 + (2x - 14)^2 = x^2
64 + 4x^2 - 56x + 196 = x^2
3x^2 - 56x + 260 = 0
Adım 3 — Denklemin Çözümü ve Çevre Hesabı
İkinci derece denklemin köklerini bulalım:
\Delta = (-56)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 260 = 3136 - 3120 = 16
x = \frac{56 \pm \sqrt{16}}{2 \cdot 3} = \frac{56 \pm 4}{6}
Buradan:
x_1 = \frac{60}{6} = 10 \quad \text{veya} \quad x_2 = \frac{52}{6} = \frac{26}{3}
Tam sayı olan x = 10\text{ birim} değerini aldığımızda:
- |AL| = 10\text{ birim}
- |KL| = |AL| = 10\text{ birim}
- |DK| = 14 - 10 = 4\text{ birim}
- |AD| = 8\text{ birim}
(Oluşan KK'L üçgeni dik kenarları 6-8, hipotenüsü 10 olan özel dik üçgendir.)
Bu parçanın çevresi:
\text{Çevre} = |AD| + |AL| + |KL| + |DK|
\text{Çevre} = 8 + 10 + 10 + 4 = 32\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E seçeneği — 32
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Eş Çokgenler: Birbirine eş iki parça elde edildiğinde, alanların eşit olmasının yanı sıra karşılık gelen kenar uzunlukları ve açılar da birbirine eşittir.
- Özel Dik Üçgenler (6-8-10): 3-4-5 üçgeninin 2 katı olan bu üçgen, dik kenarı 8 ve hipotenüsü ile diğer dik kenarı arasındaki farkı sağlayan durumlarda hızlı çözüm sağlar.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: |KL| = |AL| eşitliğini doğrudan dikdörtgenin uzun kenarına eşitlemeye çalışmak.- Doğru Yaklaşım: K köşesinden dikme indirerek dik yamuğu bir dikdörtgen ile dik üçgene ayırmak ve Pisagor teoremini uygulamak.
Benzer bir kesme-katlama geometri sorusuyla pratik yapmak ister misin?