Ardışık iki çift sayıdan biri 4 ve diğeri de 5 ile bölū-
nebilmektedir.
Elde edilen bölümlerin toplamı 13 olduğuna
göre, bu iki sayının toplami kaçtır?
A) 54158
C) 62
D) 66
E) 70
a ve b doğal sayılardır.
4a
denklemini sağlayan b değerlerinin toplamı
kaçtır?
A) 120
B) 128
C) 130 D) 136
E) 144
38. Soru: Ardışık Çift Sayılar ve Bölünebilme
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- Ardışık iki çift sayı arasındaki fark 2’dir (x ve x+2).
- Bir çift sayının 5 ile tam bölünebilmesi için son basamağının 0 olması, yani sayının 10’un katı olması gerekir.
- \text{Bölüm} = \frac{\text{Sayı}}{\text{Bölen}}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Sayıları Tanımlama
- Sayılardan 4 ile bölüneni x, 5 ile bölünen çift sayıyı y olsun.
- y sayısı hem çift hem de 5’e bölündüğü için 10’un tam katıdır.
- Ardışık çift sayılar olduklarından iki durum vardır: y = x + 2 veya x = y + 2.
Adım 2 — Birinci Durumu İnceleme (y = x + 2)
- x sayısı 4’ün katı olduğundan x = 4m yazabiliriz.
- Buradan y = 4m + 2 olur.
- Bölümlerin toplamı 13 olarak verilmiştir:
\frac{x}{4} + \frac{y}{5} = 13
m + \frac{4m + 2}{5} = 13
- Paydaları eşitleyip çözelim:
\frac{5m + 4m + 2}{5} = 13
9m + 2 = 65
9m = 63 \implies m = 7
Adım 3 — Sayıları ve Toplamlarını Bulma
- x = 4m = 4 \times 7 = 28
- y = x + 2 = 28 + 2 = 30
- Sayıların toplamı:
x + y = 28 + 30 = 58
Adım 4 — İkinci Durumun Kontrolü (x = y + 2)
- x = 4m iken y = 4m - 2 olur.
- m + \frac{4m - 2}{5} = 13 \implies 9m - 2 = 65 \implies 9m = 67 (Tam sayı çıkmaz).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 58
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ardışık Çift Sayılar: Aralarındaki fark daima 2 olan çift tam sayılardır (2n, 2n+2).
- Bu problemde: 28 ve 30 ardışık çift sayılardır; 28 / 4 = 7 ve 30 / 5 = 6 olup bölümlerin toplamı 7 + 6 = 13’tür.
SIK YAPILAN HATALAR:
Yanlış: 5’e bölünen sayıyı tek sayı (örneğin 25 veya 35) almak.- Doğru: Sayıların “ardışık iki çift sayı” olduğu belirtildiğinden 5’e bölünen sayının da mutlaka çift (yani 10’un katı) olması gerekir.
39. Soru: Doğal Sayılarda Doğrusal Denklem Çözümü (4a + 3b = 100)
KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:
- a, b \in \mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, \dots\} (Doğal sayılar 0’dan başlar).
- 4a + 3b = 100 denkleminde 4a ve 100 sayıları 4’ün katı olduğundan, 3b ifadesi de mutlaka 4’ün katı olmalıdır. Dolayısıyla b, 4’ün bir katı (b = 4k) olmak zorundadır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken Dönüşümü Yapma
Adım 2 — k Değerlerinin Sınırlarını Belirleme
Adım 3 — b Değerlerini Listeleme
- k = 0 \implies b = 4(0) = 0 (Bu durumda a = 25)
- k = 1 \implies b = 4(1) = 4 (Bu durumda a = 22)
- k = 2 \implies b = 4(2) = 8
- k = 3 \implies b = 4(3) = 12
- k = 4 \implies b = 4(4) = 16
- k = 5 \implies b = 4(5) = 20
- k = 6 \implies b = 4(6) = 24
- k = 7 \implies b = 4(7) = 28
- k = 8 \implies b = 4(8) = 32 (Bu durumda a = 1)
Adım 4 — b Değerlerinin Toplamını Hesaplama
b_{\text{toplam}} = 0 + 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 28 + 32
b_{\text{toplam}} = 4 \times (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8)
b_{\text{toplam}} = 4 \times \frac{8 \times 9}{2} = 4 \times 36 = 144
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 144
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Doğal Sayılar Kümesi (\mathbb{N}): 0 dahil pozitif tam sayıları kapsar.
- Katsayı Kuralı: İki bilinmeyenli doğrusal denklemlerde bir değişken diğerinin katsayısı kadar artarken, diğeri kendi katsayısı oranında azalır (b değerleri 4’er 4’er artarken a değerleri 3’er 3’er azalır).
SIK YAPILAN HATALAR:
- Yanlış: Doğal sayılar kümesinde 0’ı unutup b = 0 değerini dahil etmemek veya a, b > 0 (pozitif tam sayı) şartı varmış gibi çözmek.
- Doğru: Soruda “doğal sayı” dendiği için a = 25 iken b = 0 değeri geçerli bir çözümdür.
Benzer tipte temel kavramlar ve bölünebilme kuralları sorularıyla pratik yapmaya devam etmek ister misin?
