Ela, babasının bir kağıda kurşun kalem ile çizdiği ABC üçgeninin ve kenarlarının bir kısmını ve bu kenarların

Question Answer
1

Ela, babasının bir kağıda kurşun kalem ile çizdiği ABC üçgeninin [AB] ve [BD] kenarlarının bir kısmını ve bu kenarların uzunluğunu belirten sayıları silince aşağıdaki şekil ortaya çıkıyor.
m(widehat{BAD}) = m(widehat{DAC})
AB \perp BC
|CD| = 5 birim
|AC| = 10 birim
Buna göre, Ela’nın şekil üzerinde sildiği [AB] ve [BD] kenarlarının silinmeden önceki uzunlukları toplamı kaç birimdir?
A) 7
B) 8
C) 9
D) 10
E) 11

Ela, babasının bir kağıda kurşun kalem ile çizdiği ABC üçgeninin ve kenarlarının bir...
Ela, babasının bir kağıda kurşun kalem ile çizdiği ABC üçgeninin ve kenarlarının bir...829×800 90.7 KB

2

Dik Üçgende İç Açıortay Teoremi ve Pisagor Bağıntısı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir üçgende iç açıortay, karşı kenarı komşu kenarların oranında böler (İç Açıortay Teoremi: \frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|CD|}). Dik üçgende ise dik kenarların kareleri toplamı hipotenüsün karesine eşittir (Pisagor Teoremi: a^2 + b^2 = c^2).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — İç Açıortay Oranını Kurma
Şekilde [AD] doğru parçası \widehat{A} açısına ait iç açıortaydır. Verilen |CD| = 5 birim ve |AC| = 10 birim değerlerini iç açıortay teoreminde yerine yazarak |BD| = x dersek:

\frac{|AB|}{|BD|} = \frac{|AC|}{|CD|} \implies \frac{|AB|}{x} = \frac{10}{5} = 2 \implies |AB| = 2x

Adım 2 — Pisagor Teoremini Uygulama
ABC dik üçgeninde [AB] \perp [BC], |BC| = x + 5 ve hipotenüs |AC| = 10 birimdir. Pisagor bağıntısı uygulandığında:

|AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2
(2x)^2 + (x + 5)^2 = 10^2
4x^2 + x^2 + 10x + 25 = 100
5x^2 + 10x - 75 = 0 \implies x^2 + 2x - 15 = 0

Bu denklemi çarpanlarına ayırırsak:

(x + 5)(x - 3) = 0

Uzunluk negatif olamayacağından x = 3 birim bulunur.

Adım 3 — İstenen Toplamı Hesaplama
Bulunan x = 3 değerine göre silinen kenarlar:

  • |BD| = x = 3\text{ birim}
  • |AB| = 2x = 2 \cdot 3 = 6\text{ birim}
|AB| + |BD| = 6 + 3 = 9\text{ birim}

:white_check_mark: CEVAP: C) 9 (|AB| + |BD| = 9\text{ birim})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Açıortay oranından dik kenarların 2x ve x + 5, hipotenüsün ise 10 olduğunu gördüğümüzde; 6-8-10 özel dik üçgeni hemen akla gelmelidir. 2x = 6 \implies x = 3 ve x + 5 = 8 eşitliği sağlandığından ikinci derece denklem çözmeden de sonuca saniyeler içinde ulaşılabilir.

3

@Akademik_Rehber bunun daha kolay metotu yok mu

4

Evet, sınavda kalem oynatmadan çözebileceğiniz iki pratik yöntem vardır:

1. Pratik Yol: Özel Üçgen Testi (5 Saniyelik Metot)

  1. Açıortay oranını görün:
    Sağ kollar oranı: \frac{|AC|}{|CD|} = \frac{10}{5} = 2’dir.
    O hâlde sol kollar oranı da 2 olmalıdır: |AB| = 2 \cdot |BD| (yani |BD| = x ise |AB| = 2x).

  2. Hipotenüsü 10 olan dik üçgeni düşünün:
    Hipotenüsü 10 olan en meşhur dik üçgen 6-8-10 üçgenidir.

    • Dik kenar |AB| = 6 olursa \rightarrow x = 3 olur.
    • Diğer dik kenar |BC| = x + 5 = 3 + 5 = 8 olur.
    • Sayılar birebir sağlandığı için denklem kurmaya gerek kalmaz.
  • Sonuç: |AB| + |BD| = 6 + 3 = 9

2. Pratik Yol: Açıortay Kollarına İndirilen Dikmeler Kuralı

Açıortay üzerindeki bir noktadan açının kollarına indirilen dikmeler birbirine eşittir.

  • D noktasından hipotenüse ([AC]'ye) bir dikme indirin ([DH] \perp [AC] olsun).

  • [AD] açıortay olduğundan:

    • |DH| = |DB| = x
    • |AH| = |AB| olur.

  • Sağ tarafta oluşan DHC dik üçgenine bakın:

    • Hipotenüsü |DC| = 5, bir dik kenarı |DH| = x.
    • Bu üçgen meşhur 3-4-5 üçgenidir.
    • Buradan doğrudan dikme uzunluğu x = 3 (|DH| = |BD| = 3) ve |HC| = 4 gelir.

  • Hipotenüsün tamamı |AC| = 10 olduğuna göre:

    • |AH| = 10 - 4 = 6
    • Dolayısıyla |AB| = |AH| = 6 olur.

  • Sonuç: |AB| + |BD| = 6 + 3 = 9