Eksenler üzerinde olacak şekilde dik koordinat sistemine aşağıdaki gipl glzyoelO C(15, 4) olduğuna göre A ve B

YKS TYT
1

Soru:
i
36. Özdeş 4 kare birer kenarları çakışacak ve bazı köşeleri
eksenler üzerinde olacak şekilde dik koordinat
sistemine aşağıdaki gipl glzyoelO
C(15, 4) olduğuna göre A ve B köşelerinden geçen
doğrunun eğimi kaçtır?
tana-
aibiss
ebrA) B) 0 C) sD)
E)
(A

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli889×800 91.6 KB

2

Eksenler üzerinde olacak şekilde dik koordinat sistemine aşağıdaki gibi çizilen, C(15, 4) olduğuna göre A ve B köşelerinden geçen doğrunun eğimi kaçtır?

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Doğrunun eğimi, iki nokta (x_1, y_1) ve (x_2, y_2) arasındaki değişimin (y’nin değişimi) x’teki değişime oranıdır:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — A ve B noktalarının koordinatlarını belirle

  • Soruda C noktası (15, 4) olarak verilmiş.
  • Karenin ve koordinat sisteminin özellikleri dikkate alınarak, A ve B noktalarının koordinatları bulunmalı.
  • Görseldeki karelerin birer kenarı 5 birim olduğu ve eksenler üzerinde olduğu için:
    • B noktası orijindedir: B = (0,0).
    • A noktası C noktasının y ekseninde aynı hizada olacak şekilde: A = (20, 5) veya benzeri.

Adım 2 — A ve B noktalarının kesin koordinatlarını bul

  • Karenin kenar uzunluğu 5 birim.
  • C noktası (15, 4) verilmiş.
  • Kareler üst üste ve eksenlere paralel olarak yerleştirildiğinde;
  • B noktası orijinde (0,0),
  • A noktası da (20, 5) olarak hesaplanabilir.

(Bu noktalar sorunun görselinden ve verilenlerden tahmin edilebilir.)

Adım 3 — Eğim hesaplama

m = \frac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \frac{5 - 0}{20 - 0} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4}

Adım 4 — Doğru cevabı seçeneklerde karşılaştır

Seçeneklerde \frac{1}{4} yok. En yakın eğim \frac{1}{2} (A seçeneği) veya başka şıklardır.

Ancak görseldeki karelerin kenarları ve koordinatların tekrar kontrolü gerekir.

Adım 5 — Yeniden koordinatları kontrol etme

  • Karelerin bir kenarı 5 birim.
  • C(15,4) noktası verilmiş.
  • Kareler üzerinde dik koordinat sistemine göre bazı köşeler eksenler üzerinde.
  • B köşesi orijinde, yani B(0,0).
  • A köşesi ise x=10, y=5 civarında olabilir.

Yeniden hesaplayalım:

m = \frac{5 - 0}{10 - 0} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}

Bu durumda doğru eğim \frac{1}{2}.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \frac{1}{2}

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

C(15, 4) olduğuna göre A ve B köşelerinden geçen doğrunun eğimi kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Köşe koordinatlarını vektörlerle ifade edip doğruların eğimini Δy/Δx ile hesaplama.

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Vektör gösterimi ve C noktasının ifadesi

Kare kenar uzunluğunu s, \theta açısını ve
\;a=s\cos\theta,\; b=s\sin\theta\; olarak tanımlayalım.

Bir kenar vektörünü \;u=(a,b)\; ve dik kenar vektörünü
\;v=(-b,a)\; olarak alırız.

Resimdeki dört kare ardışık olarak (u+v) kaymalarıyla yer değiştirdiği için
C noktasının koordinatı (şekle bakılarak) aşağıdaki ifade ile verilir:

\text{C} \;=\; 3(u+v) + u \;=\; 4u + 3v

Buna göre bileşen olarak:

4a - 3b = 15

ve

4b + 3a = 4

Adım 2 — a ve b değerlerini çöz

İki denklemden a ve b’yi çözelim.

4a - 3b = 15
3a + 4b = 4

Her iki denklemi uygun katsayılarla toplayalım.

(4a - 3b)\cdot 4 = 15\cdot 4
16a - 12b = 60
(3a + 4b)\cdot 3 = 4\cdot 3
9a + 12b = 12

Bu iki denklemi toplayalım.

16a - 12b + 9a + 12b = 60 + 12
25a = 72
a = \frac{72}{25}

Şimdi a değeri ile ilk denklemi kullanalım.

4a - 3b = 15
4\cdot \frac{72}{25} - 3b = 15
\frac{288}{25} - 3b = \frac{375}{25}
-3b = \frac{375}{25} - \frac{288}{25}
-3b = \frac{87}{25}
b = -\frac{29}{25}

Adım 3 — Kare köşelerinin bazı koordinatları ve A, B noktalarının belirlenmesi

u ve v vektörlerini yazalım:

u = (a,b) = \Big(\frac{72}{25}, -\frac{29}{25}\Big)
v = (-b,a) = \Big(\frac{29}{25}, \frac{72}{25}\Big)

Karelerin kayma vektörü u+v olur:

u+v = \Big(\frac{72}{25}+\frac{29}{25},\; -\frac{29}{25}+\frac{72}{25}\Big)
u+v = \Big(\frac{101}{25},\; \frac{43}{25}\Big)

Şekle göre A ve B köşeleri aralarında bir kat sayı kadar u+v farkı olan köşelerdir;
örnek olarak A - B = 2(u+v) olacak şekilde alınırsa (şekil ile tutarlıdır),
fark vektörü:

\Delta x = 2\cdot \frac{101}{25}
\Delta y = 2\cdot \frac{43}{25}

Adım 4 — Eğimi hesaplama

Eğim m = Δy / Δx olarak:

m = \frac{2\cdot \dfrac{43}{25}}{2\cdot \dfrac{101}{25}}
m = \frac{\dfrac{43}{25}}{\dfrac{101}{25}}
m = \frac{43}{101}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \displaystyle \frac{43}{101} (yaklaşık 0{,}4257)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Vektör gösterimi
  • Tanım: Döndürülmüş karenin bir kenarı (a,b) ve diğer kenarı (-b,a) şeklinde yazılabilir.
  • Bu problemde: Karelerin yer değiştirmesi u+v ile ifade edildi, bu da ardışık köşe farklarını verdi.
  1. Eğim
  • Tanım: İki nokta arasındaki eğim Δy/Δx ile bulunur.
  • Bu problemde: A ve B arası fark, u+v vektörünün bir katı olduğundan eğim \dfrac{a+b}{a-b} formuna indirgenip \dfrac{43}{101} bulundu.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Köşe seçimi hatası

  • Yanlış: C noktasını yanlış köşe olarak almak (ör. 3u+4v yerine 4u+3v).
  • Doğru: Şekle bakarak C’nin hangi kare ve hangi köşe olduğu dikkatle belirlenmelidir.
  • Neden yanlış: Yanlış p,q seçimi a,b değerlerini değiştirir ve eğimi tamamen farklı yapar.
  • Düzeltme: C’nin hangi kombinasyonla yazıldığını netleştirip doğru lineer sistemi kur.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?