OSYM)KÖgEsi
eIrem çocuk parkinda oynarken ray üzerinde duran
veterince küçük bir oyuncak arabayı iterek hedefteki
balonu patlatmaya çalişıyor. Oyunda ucunda iğne
bulunan arabanın, Iremin verdiği ilk hizla, önce 1 metre
caplı çembersel rayda bir tam tur atması ve sonra 2,4
metre yükseklikteki balona ulaşması gerekmektedir.
Balon
2,4 m
Araba
Yer
yatay
Balonun patlaması için arabanın en az 1 mls hizla
balona çarpması gerektiğine göre, irem’in oyuncak
arabaya kazandırması gereken ilk hizin büyüklüğü
en az kaç m/s blmalıdır?
(Yer çekimi ivmesi 10 m/s dir, sürtünmeler ihmal
edilmektedir.)
A) 4
B) 5
C) 4V2
D) 7
E) 3/6
AYT- 2020
Dor
Oyuncak Arabanın Balonu Patlatması İçin Gereken Minimum İlk Hızın Hesaplanması
KULLANILAN FORMÜLLER:
-
Mekanik Enerjinin Korunumu:
E_{\text{ilk}} = E_{\text{son}} \implies \frac{1}{2} m v_0^2 = m g h + \frac{1}{2} m v^2 -
Düşey Çembersel Harekette Raydan Düşmeme (Kritik Hız) Şartı:
v_{\text{üst}}^2 \ge g \cdot r
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Bu soruda arabanın hedefe ulaşabilmesi için iki farklı fiziksel koşulu aynı anda sağlaması gerekir.
Adım 1 — Düşey Çembersel Raydan Güvenle Geçme Şartının Kontrolü
Arabanın 1\text{ m} çaplı (r = 0{,}5\text{ m}) rayın en üst noktasından düşmeden geçebilmesi için tepe noktasındaki (h_1 = 1\text{ m}) hızının karesi en az v_{\text{üst}}^2 = g \cdot r olmalıdır:
v_{\text{üst}}^2 \ge 10\text{ m/s}^2 \times 0{,}5\text{ m} = 5\text{ m}^2\text{/s}^2
Bu koşulu sağlamak için gereken minimum ilk hız (v_{0,1}):
\frac{1}{2} m v_{0,1}^2 = m g h_1 + \frac{1}{2} m v_{\text{üst}}^2
Kütleler (m) sadeleştirilip değerler yerine yazıldığında:
\frac{1}{2} v_{0,1}^2 = (10 \times 1) + \left(\frac{1}{2} \times 5\right)
\frac{1}{2} v_{0,1}^2 = 10 + 2{,}5 = 12{,}5
v_{0,1}^2 = 25 \implies v_{0,1} \ge 5\text{ m/s}
Adım 2 — Balona 2{,}4\text{ m} Yükseklikte En Az 1\text{ m/s} Hızla Çarpma Şartı
Arabanın h_2 = 2{,}4\text{ m} yükseklikteki balona ulaştığında hızının en az v_{\text{balon}} = 1\text{ m/s} olması istenmektedir.
Başlangıç noktası ile balon seviyesi arasında mekanik enerjinin korunumunu yazalım:
\frac{1}{2} m v_0^2 = m g h_2 + \frac{1}{2} m v_{\text{balon}}^2
Kütleleri (m) sadeleştirip verilen değerleri yerine koyalım:
\frac{1}{2} v_0^2 = (10\text{ m/s}^2 \times 2{,}4\text{ m}) + \left(\frac{1}{2} \times (1\text{ m/s})^2\right)
\frac{1}{2} v_0^2 = 24 + 0{,}5
\frac{1}{2} v_0^2 = 24{,}5
v_0^2 = 49
v_0 = 7\text{ m/s}
Adım 3 — İki Şartın Karşılaştırılması ve Nihai Hızın Belirlenmesi
- Arabanın çemberden düşmemesi için: v_0 \ge 5\text{ m/s}
- Balona ulaşıp patlatabilmesi için: v_0 \ge 7\text{ m/s}
Araba v_0 = 7\text{ m/s} hızla fırlatıldığında çembersel raydan rahatlıkla geçer (7 > 5) ve balona tam 1\text{ m/s} hızla çarparak balonu patlatır. Dolayısıyla gereken minimum ilk hız 7\text{ m/s} olmalıdır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D şıkkı (7\text{ m/s})
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mekanik Enerjinin Korunumu
- Tanım: Sürtünmesiz ortamlarda bir cismin sahip olduğu kinetik enerji ve potansiyel enerjinin toplamı hareket boyunca sabittir.
- Bu problemde: Arabanın yer seviyesindeki kinetik enerjisi, tepe noktasında ve balon hizasında yerçekimi potansiyel enerjisine ve kinetik enerjiye dönüşmüştür.
2. Düşey Düzlemde Düzgün Olmayan Dairesel Hareket
- Tanım: Bir cismin dairesel bir rayın tepe noktasından düşmeden geçebilmesi için merkezkaç etkisinin en az yerçekimi kuvvetini dengelemesi (N \ge 0) gerekir.
- Bu problemde: Tepe noktasındaki minimum hız v = \sqrt{g \cdot r} formülüyle kontrol edilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Çembersel Rayın Yarıçapını Yanlış Almak
- Yanlış: Çapı (1\text{ m}) formülde doğrudan yarıçap (r) olarak kullanmak.
- Doğru: Çap 1\text{ m} ise yarıçap r = 0{,}5\text{ m} alınmalıdır.
- Neden yanlış: Formüldeki r büyüklüğü daima dönme yarıçapını temsil eder.
Benzer bir enerji korunumu veya düşey atış/çembersel hareket sorusu çözmemi ister misin?