Eğrisinin A ve B noktalarındaki teğetleri y 4 dog- rusuna teğettir

Maths Question
1
  1. A
    fo) =x- ax-7x +b
    eğrisinin A ve B noktalarındaki teğetleri y 4 dog-
    rusuna teğettir.
    A ve B’nin apsislerinin toplamı 2 oiduğuna gö-
    re, a kaçtır?
    A) 3
    B) 4
    C)5
    D) 6
    E) 7

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli1024×692 43 KB

2

Eğrisinin A ve B Noktalarındaki Teğetleri y = 4 Doğrusuna Teğet Olan Fonksiyonun a Değerinin Bulunması

:light_bulb: Kullanılan Formül:
Bir fonksiyonun bir noktadaki teğetinin denklemi:

y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0)

Burada f'(x_0) fonksiyonun türevidir.

:brain: Çözüm Adımları:

Adım 1 — Fonksiyon ve türevini yazalım
Verilen fonksiyon:

f(x) = x^3 - a x^2 - 7x + b

Türevi:

f'(x) = 3x^2 - 2a x -7

Adım 2 — Teğetlerin y = 4 doğrusuna teğet olması şartını kullanalım
Teğet eğrileri y = 4 doğrusuna teğet olduğuna göre, y = 4 doğrusunun eğimi 0’dır. Dolayısıyla, f(x) eğrisinin A ve B noktalarındaki teğetlerinin eğimi 0 yani:

f'(A_x) = 0 $$ ve $$ f'(B_x) = 0

Bu durumda, A_x ve B_x türev denkleminin kökleridir.

Adım 3 — Türev denkleminin köklerini yazalım

3x^2 - 2a x - 7 = 0

Bu denklemin köklerinin toplamı:

x_1 + x_2 = \frac{2a}{3}

Adım 4 — A ve B’nin apsislerinin toplamı verilmiş
Soruya göre:

A_x + B_x = 2

Yani

x_1 + x_2 = 2

Adım 5 — Toplam kökler eşitliğinden a’yı bulalım

\frac{2a}{3} = 2
2a = 6
a = 3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: Cevap: A) 3
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: Temel Kavramlar:

  • Teğetin eğimi: Fonksiyonun türevidir. Bir noktadaki teğetin eğimi f'(x_0) ile bulunur.
  • Kökler Toplamı: İkinci dereceden denklemlerde ax^2 + bx + c = 0 için köklerin toplamı -b/a şeklindedir. Burada dikkat: türev denklemi formatına göre kullanılmıştır.

:warning: Sık Yapılan Hata:

  • Teğetin eğimini 0 almayı unutmak: Teğetlerin y=4 doğrusuna teğet olması demek, bu doğruya paralel ve kesişim noktalarında 1’den fazla ortak nokta olması yani türev eğimlerinin eğim değeriyle uyuşmasıdır. Burada doğrunun eğimi 0 olduğu için, teğetlerin eğiminin de 0 olması gerekir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuda başka örnek ister misin?

3

f(x)=x^3−ax^2−7x+b eğrisinin A ve B noktalarındaki teğetleri y=4 doğrusuna teğettir. A ve B’nin apsislerinin toplamı 2 olduğuna göre, a kaçtır?

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Türev ve ikinci dereceden denklemlerde köklerin toplamı (Vieta): Birinci dereceden katsayıları kullanılarak köklerin toplamı = -\dfrac{b}{a} (denklem ax^2+bx+c=0 için).

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Türevi Bul ve Yatay Teğet Koşulunu Kur

Türev (kurulum):

f'(x)=\frac{d}{dx}\big(x^3-ax^2-7x+b\big)
f'(x)=3x^2-2ax-7

Yatay teğet için türev sıfırdır (çünkü y=4 yatay çizgidir):

3x^2-2ax-7=0

Adım 2 — Köklerin Toplamını Kullan

Bu ikinci dereceden denklemin köklerinin toplamı (Vieta) (kurulum):

\text{Köklerin toplamı}=-\frac{\text{katsayı (x)}}{\text{katsayı (x^2)}}
\text{Köklerin toplamı}=-\frac{-2a}{3}
=\frac{2a}{3}

Verilen bilgiye göre köklerin (A ve B’nin apsislerinin) toplamı 2’dir, o hâlde:

\frac{2a}{3}=2
2a=6
a=3

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: a=3 (A şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Türev
  • Tanım: Bir fonksiyonun eğim değişimini veren operatör.
  • Bu problemde: Eğrinin teğet eğimi f'(x) ile bulunur; yatay teğet için f'(x)=0.
  1. Köklerin toplamı (Vieta)
  • Tanım: İkinci dereceden denklemde köklerin toplamı -\dfrac{b}{a} ile verilir.
  • Bu problemde: 3x^2-2ax-7=0 denklemi için köklerin toplamı \dfrac{2a}{3}.

SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Katsayıları Karıştırma

  • Yanlış: Köklerin toplamını -\dfrac{2a}{-3} veya benzeri yanlış işlemek.
  • Doğru: Köklerin toplamı -\dfrac{b}{a} formülüne göre -\dfrac{-2a}{3}=\dfrac{2a}{3}.
  • Neden yanlış: İmza ve payda yerlerini karıştırmak sonucu tersine çevirir.
  • Düzeltme: Denklemin katsayılarını dikkatle tanımlayıp Vieta formülünü doğru uygulayın.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket: