Sorunun Çözümü
23. soru:
Fonksiyon:
Verilen bilgilere göre, fonksiyonun yerel maksimum değeri 56’dır. Bu bilgiyi kullanarak a değerini bulacağız.
Adım 1: Yerel Maksimum Noktasını Bulmak
Bir fonksiyonun yerel maksimum/minimum noktası için türev alınır ve türevin sıfır olduğu noktalar bulunur.
Fonksiyonun türevi:
Türevi sıfıra eşitleyelim:
Yerel maksimum veya minimum noktalar x = 3 ve x = -3 değerlerinde oluşabilir.
Adım 2: Hangi Noktanın Yerel Maksimum Olduğunu Bulma
İkinci türev testi:
Fonksiyonun ikinci türevi:
x = 3 için:
Bu, x = 3 için yerel minimum olduğunu gösterir.
x = -3 için:
Bu, x = -3 için yerel maksimum olduğunu gösterir.
Adım 3: Yerel Maksimum Değerini Kullanarak a’yı Bulma
Yerel maksimum noktası:
Bu değeri f(x) fonksiyonunda yerine koyarak yerel maksimumu bulacağız:
Eşitliği çözerek a değerini bulalım:
Sonuç
Sorunun doğru cevabı: E) 2
Berrin_Aldemir, başka soruların varsa çekinmeden sorabilirsin! 
@Berrin_Aldemir
f: ℝ → ℝ olmak üzere, f(x) = x^3 - 27x + a fonksiyonunun yerel maksimum değeri 56 olduğuna göre ‘a’ değeri kaçtır?
Cevap:
1) Yerel Maksimum Noktasının Bulunması
- Bir fonksiyonda yerel ekstremum (maksimum / minimum) noktalarını bulmak için öncelikle türevini sıfıra eşitleriz.
- f(x) = x³ - 27x + a ⇒
f’(x) = 3x² - 27
Türevi sıfırlayalım:
2) Maksimum Noktayı Ayırt Etmek
- İkinci türevi kontrol edelim:
f’'(x) = 6x - x = -3 ⇒ f’'(-3) = 6·(-3) = -18 < 0 ⇒ Yerel maksimum
- x = 3 ⇒ f’'(3) = 6·3 = 18 > 0 ⇒ Yerel minimum
Bu nedenle yerel maksimum x = -3’te gerçekleşir.
3) Yerel Maksimum Değerinin Hesaplanması
- Yerel maksimum değeri f(-3)’tür.
f(-3) = (-3)³ - 27·(-3) + a
= -27 + 81 + a
= 54 + a - Soruda fonksiyonun yerel maksimum değeri 56 olarak verildiğine göre:
54 + a = 56 ⇒ a = 2
Dolayısıyla doğru cevap: 2.
f: ℝ → ℝ olmak üzere, f(x) = x³ - 27x + a fonksiyonunun yerel maksimum değeri 56 olduğuna göre a değeri kaçtır?
Cevap: Bu soruda aradığımız a değeri 2’dir. Aşağıdaki çözüm adımlarında, bu sonuca nasıl ulaştığımızı tüm detaylarıyla görebilirsiniz.
İçindekiler
- Genel Bakış
- Temel Kavramlar
- Adım Adım Çözüm
- Tablolar ile Değerlendirme
- Ek Açıklamalar ve İpuçları
- Özet Tablo
- Sonuç ve Genel Özet
1. Genel Bakış
Bu problemde, üçüncü dereceden (kübik) bir fonksiyonun yerel maksimum değerini kullanarak sabit terimi a bulmamız isteniyor. Verilen fonksiyon şu şekildedir:
Bu fonksiyonun yerel maksimum değerinin 56 olduğu bilgisi, bizi fonksiyonun önce türevini bulmaya, kritik noktaları (türevi sıfıra eşitleyen x değerlerini) hesaplamaya ve en sonunda o kritik noktada fonksiyon değerini 56’ya eşitleyerek a değerini bulmaya yönlendirir. Çözümde önce türevin mantığını, sonra ikinci türevin bize maksimum veya minimum hakkında nasıl bilgi verdiğini kullanacağız.
2. Temel Kavramlar
Bu tip bir soruda kullanacağımız bazı temel kavramlar şunlardır:
- Türev (f'(x)): Bir fonksiyonun türevi, o fonksiyonun değişim hızını ifade eder. Kritik noktalar, türevin sıfır olduğu (veya tanımsız olduğu) yerlerdir.
- Yerel Maksimum (Local Maximum): Fonksiyonun belirli bir aralıktaki en büyük değeri aldığı noktadır. Burada türev 0 olur ve ikinci türev genelde negatif çıkar (f''(x) < 0).
- Yerel Minimum (Local Minimum): Belirli bir aralıktaki en küçük değeri aldığı noktadır. Burada türev 0 olur ve ikinci türev pozitif çıkar (f''(x) > 0).
- İkinci Türev (f''(x)): Maksimum veya minimumu ayırt etmede kullanılır.
Bu problemde, f'(x) yardımıyla kritik noktaları bulacağız ve f''(x) yardımıyla bu kritik noktaların hangi tür ekstremum olduklarını (maksimum veya minimum) belirleyeceğiz. Sonrasında, soruda “yerel maksimum” değerin 56 olduğu belirtilmiş olduğu için, bulacağımız noktanın fonksiyon değerini 56’ya eşitleyip a değerini hesaplayacağız.
3. Adım Adım Çözüm
3.1. Türevi Almak
Verilen fonksiyon:
Bu fonksiyonun türevi (birinci türevi) şöyle bulunur:
Dolayısıyla,
Bu türev, her x değeri için fonksiyonun hangi hızla değiştiğini gösterir.
3.2. Yerel Ekstremum Noktalarını Bulmak
Yerel ekstremum noktaları (yerel maksimum ya da yerel minimum) için gerekli koşul, türevin sıfır olmasıdır. Yani:
Buradan
Dolayısıyla, potansiyel yerel ekstremum noktalarımız x = -3 ve x = 3 olarak bulunur.
3.3. Yerel Maksimum ve Minimum Noktasını Saptamak
Hangi noktada maksimum, hangisinde minimum olduğunu anlamanın en temel yolu ikinci türevi kullanmaktır.
Fonksiyonun ikinci türevi:
- x = -3 için f''(-3) = 6 \cdot (-3) = -18 . Bu değer negatif olduğundan, x=-3 noktasında yerel maksimum vardır.
- x = 3 için f''(3) = 6 \cdot 3 = 18 . Bu değer pozitif olduğundan, x=3 noktasında yerel minimum mevcuttur.
Soru, yerel maksimum değerin 56 olduğunu söylüyor. Demek ki, x=-3 noktasına odaklanacağız.
3.4. Yerel Maksimum Değerini 56’ya Eşitlemek
Yerel maksimum değeri, fonksiyonun -3 noktasındaki değerine eşittir. Yani:
Hesaplayalım:
- (-3)^3 = -27
- -27(-3) = +81
- Fonksiyon değeri: -27 + 81 + a = 54 + a.
Bu değer, soruda verilen bilgiye göre 56 olacak:
3.5. a Değerini Hesaplamak
Yukarıdaki eşitliği sağlayacak a değerini bulmak için:
Dolayısıyla, sorunun cevabı a = 2’dir.
4. Tablolar ile Değerlendirme
Aşağıdaki tabloda, kritik noktaları (x = -3 ve x = 3) ve fonksiyonun bu noktalardaki türev ve ikinci türev değerlerini görebilirsiniz. Bu tablo, hangi noktanın maksimum hangisinin minimum olduğunu anlamayı kolaylaştırmaktadır.
| x | f’(x) = 3x² - 27 | f’'(x) = 6x | Ekstremum Tipi | f(x) Değeri |
|---|---|---|---|---|
| -3 | 0 | -18 | Yerel Maksimum | f(-3) = 54 + a |
| 3 | 0 | 18 | Yerel Minimum | f(3)=27 -81 + a= -54 + a |
Tablodan da görüleceği üzere, x=-3 noktasında ikinci türev negatif (-18), dolayısıyla fonksiyon orada yerel maksimum değerini alır. Soru da tam olarak bu yerel maksimumun 56 olduğunu belirtmektedir.
5. Ek Açıklamalar ve İpuçları
5.1. Türevin Anlamı ve Grafik Yorumu
- Türevi 0 olan noktalar, fonksiyonda tepe veya çukur noktalarına (veya yatay teğet noktalara) karşılık gelir.
- Grafinik olarak, x=-3 civarında fonksiyon tepe (max) yapar. Tanjant eğimi burada sıfırdır.
5.2. İkinci Türevin Rolü
- İkinci türevin negatif (f''(x) < 0) olması, fonksiyonun o noktada yerel tepe (maksimum) yaptığını söyler.
- İkinci türevin pozitif (f''(x) > 0) olması, fonksiyonun o noktada yerel çukur (minimum) yapmasını sağlar.
Bu kuralları, “konvekslik” veya “konkavlık” olarak da duyabilirsiniz:
- Eğer fonksiyonun grafiği yukarı doğru kavisli (açık) ise ikinci türev pozitiftir (f''(x) > 0).
- Eğer fonksiyonun grafiği aşağı doğru kavisli (kapalı) ise ikinci türev negatiftir (f''(x) < 0).
6. Özet Tablo
Aşağıda problemi daha derli toplu gösteren bir özet tablo yer almaktadır. Burada, hem fonksiyon, hem türevleri, hem de elde edilen kritik noktalar ve ilgili a değeri tek bir yerde görülmektedir:
| Adım | Yapılan İşlem | Sonuç / Açıklama |
|---|---|---|
| 1. Fonksiyonu yazma | f(x) = x^3 - 27x + a | Başlangıç fonksiyonu |
| 2. Birinci türev | f'(x) = 3x^2 - 27 | Kritik noktaları bulmak için türev |
| 3. Kritik noktalar | f'(x) = 0 → 3x^2 - 27 = 0 → x = -3, +3 | Aday noktalar: -3 ve 3 |
| 4. İkinci türev | f''(x) = 6x | Max mı, min mi ayırt etmek için |
| 5. Yerel maksimum | f''(-3) < 0 → yerel maksimum | x=-3 |
| 6. Yerel maksimum değeri | f(-3) = (-3)^3 - 27(-3) + a = 54 + a | Bu değerin 56 olduğu söyleniyor |
| 7. Eşitleme | 54 + a = 56 | Denklemi çözerek a bulunur |
| 8. a değerinin hesabı | a = 56 - 54 = 2 | Aradığımız cevap |
| 9. Sonuç | Yerel maksimum değeri 56 ise a = 2 | Doğru seçenek 2 (E) |
Tablodaki son sütunda da görüldüğü üzere, buradan a=2 sonucuna varıyoruz.
7. Sonuç ve Genel Özet
Bu problem, kübik bir fonksiyonun yerel ekstremum analizini ve kritik noktalar üzerinden sabit terim a’nın bulunmasını gerektiriyor. Adımların özeti şu şekildedir:
- Türevi alın: f'(x) = 3x^2 - 27.
- Kritik noktalar: f'(x) = 0 çözüldüğünde x=±3.
- Hangi nokta max, hangisi min?: İkinci türevi \left(f''(x)=6x\right) kullanarak x=-3 noktasında maksimum, x=3 noktasında minimum olduğunu saptıyoruz (f''(-3)<0, f''(3)>0).
- Maksimum değeri eşitleme: Fonksiyonun -3 noktasındaki değeri f(-3)=54+a. Bu değerin 56 olduğu belirtildiğinden 54+a=56 denklemi çözüldüğünde a=2 elde edilir.
Bu adımlar doğrultusunda, yerel maksimum değeri 56 olan bu fonksiyon için a=2 olduğu netleşir.
Kapsamlı açıklamalar, türev ve ikinci türev analizleri, tablolarda derli toplu biçimde gösterildi. Böylece, hem teorik olarak hem de pratik olarak problemi çözme sürecine hakim olabilirsiniz.
Kısa Özet:
- Yerel maksimum noktası x=-3.
- O noktadaki fonksiyon değeri 54+a.
- Bu değer 56 olduğu için a=2.