Eğik Atış Problemi: Maksimum Yükseklik ve Atış Uzaklığı Oranı

YKS TYT
1

image
image720×960 44.5 KB

2

Eğik Atış Problemi: Maksimum Yükseklik ve Atış Uzaklığı Oranı

Önemli Noktalar

  • Eğik atış 45° açıyla ve ilk hız (v_0) ile yapılmıştır.
  • Tepe noktasından 3 saniye sonra cisim yere ((L) noktasına) çarpar.
  • Yerçekimi ivmesi (g = 10 , m/s^2), (\sin 45^\circ = \cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}) olarak veriliyor.
  • Soru, maksimum yükseklik ((h_{\max})) ile menzil ((x_{\text{menzil}})) oranını soruyor: (\frac{h_{\max}}{x_{\text{menzil}}}).

Çözüm için kritik bilgiler:

  • Maksimum yüksekliğe ulaşma süresi, yükselme süresi = ( \frac{v_0 \sin 45^\circ}{g} )
  • Cismin yere düşme süresi toplam: (T = 2 \times \text{yükselme süresi})
  • Verilen bilgiye göre, tepe noktasından yere düşme süresi 3 saniye → yerdeki toplam süre (t_{\text{total}} = t_{\text{yükselme}} + 3)
  • Menzil denklemi (x_{\text{menzil}} = v_0 \cos 45^\circ \times t_{\text{total}})
  • Maksimum yükseklik denklemi (h_{\max} = \frac{(v_0 \sin 45^\circ)^2}{2g})

İçindekiler

  1. Zaman Bilgileri ve İlk Hızın Bulunması
  2. Maksimum Yükseklik ve Menzil İlişkisi
  3. Sonuç: Oranın Hesaplanması

1. Zaman Bilgileri ve İlk Hızın Bulunması

  • Yükselme süresi:
    [
    t_{\text{yukselme}} = \frac{v_0 \sin 45^\circ}{g} = \frac{v_0 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{10} = \frac{v_0 \sqrt{2}}{20}
    ]

  • Verilen: Tepe noktasından 3 saniye sonra cisim yere çarpıyor.
    Bu, cismin iniş süresinin (t_{\text{iniş}} = 3,s) olduğu anlamına gelir.

  • Toplam uçuş süresi:
    [
    T = t_{\text{yukselme}} + t_{\text{iniş}} = \frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + 3
    ]

2. Maksimum Yükseklik ve Menzil İlişkisi

  • Menzil:
    [
    x_{\text{menzil}} = v_0 \cos 45^\circ \times T = v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} \times \left(\frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + 3 \right)
    = \frac{v_0 \sqrt{2}}{2} \times \left(\frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + 3 \right)
    ]

  • Maksimum yükseklik:
    [
    h_{\max} = \frac{(v_0 \sin 45^\circ)^2}{2g} = \frac{\left(v_0 \frac{\sqrt{2}}{2}\right)^2}{2 \times 10} = \frac{\frac{v_0^2 \times 2}{4}}{20} = \frac{v_0^2}{40}
    ]

3. Sonuç: Oranın Hesaplanması

Oran:
[
\frac{h_{\max}}{x_{\text{menzil}}} = \frac{\frac{v_0^2}{40}}{\frac{v_0 \sqrt{2}}{2} \times \left(\frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + 3 \right)} = \frac{\frac{v_0^2}{40}}{ \frac{v_0 \sqrt{2}}{2} \left( \frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + 3 \right) }
]

Pay ve paydada ortak (v_0)yu sadeleştirelim:
[
= \frac{\frac{v_0}{40}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \left( \frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + 3 \right)}
= \frac{\frac{v_0}{40}}{\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{v_0 \sqrt{2}}{20} + \frac{\sqrt{2}}{2} \times 3}
]

Öncelikle paydadaki terimleri hesaplayalım:
[
\frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{v_0 \sqrt{2}}{20} = \frac{v_0 \times 2}{40} = \frac{v_0}{20}
]
[
\frac{\sqrt{2}}{2} \times 3 = \frac{3 \sqrt{2}}{2}
]
Yani payda:
[
\frac{v_0}{20} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}
]

Böylece oran:
[
\frac{v_0 / 40}{(v_0 / 20) + (3 \sqrt{2} / 2)} = \frac{v_0}{40} \times \frac{1}{\frac{v_0}{20} + \frac{3 \sqrt{2}}{2}}
]

Burada (v_0) bilinmiyor ama verilen seçeneklerde oran sabit sayı olarak verilmiş. Ancak oranı hesaplamak için verilen zaman bilgisinden (v_0)yu bulalım.

(v_0) Değerinin Bulunması

Düşüş süresi inişte 3 sn olduğuna göre, inişteki başlangıç hızı:
[
v_{\text{iniş ilk}} = g \times t_{\text{iniş}} = 10 \times 3 = 30 , m/s
]

Çünkü inişte cisim aşağıya serbest düşme gibi hızlanır. Ayrıca iniş hızı, tepenin çıkış hızı (yani (v_0 \sin 45^\circ)) kadar olmalı:
[
v_0 \sin 45^\circ = 30
]
[
v_0 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 30 \Rightarrow v_0 = \frac{30 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{60}{1.414} \approx 42.43 , m/s
]

Yeniden Oranı Hesaplayalım:

[
\frac{h_{\max}}{x_{\text{menzil}}} = \frac{\frac{v_0^2}{40}}{v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} \times T} = \frac{\frac{v_0^2}{40}}{v_0 \frac{\sqrt{2}}{2} \times (t_{\text{yukselme}} + 3)}
]

Bildiğimiz değerler:
[
v_0 = 42.43 \quad,\quad t_{\text{yukselme}} = \frac{v_0 \sin 45^\circ}{g} = \frac{42.43 \times \frac{\sqrt{2}}{2}}{10} = \frac{42.43 \times 0.707}{10} \approx 3 , s
]

Yani toplam zaman:
[
T = 3 + 3 = 6 , s
]

Menzil:
[
x_{\text{menzil}} = v_0 \cos 45^\circ \times T = 42.43 \times \frac{\sqrt{2}}{2} \times 6 \approx 42.43 \times 0.707 \times 6 \approx 180 , m
]

Maksimum yükseklik:
[
h_{\max} = \frac{(v_0 \sin 45^\circ)^2}{2g} = \frac{(42.43 \times 0.707)^2}{20} = \frac{30^2}{20} = \frac{900}{20} = 45 , m
]

Oran:
[
\frac{h_{\max}}{x_{\text{menzil}}} = \frac{45}{180} = \frac{1}{4}
]

Sonuç: Doğru cevap B) (\frac{1}{4})

Sık Sorulan Sorular

1. Menzil nedir?
Menzil, yatay düzlemde cismin hareket sonunda ulaştığı toplam yatay mesafedir.

2. Maksimum yükseklik nasıl bulunur?
Maksimum yükseklik, cismin dikey hızının sıfır olduğu en üst noktadaki yüksekliği verir ve formülü (\frac{(v_0 \sin \theta)^2}{2g})'dir.

3. Tepe noktasından sonra geçen zaman neden önemli?
Çünkü iniş süresi yükseklik ve hız gibi değerleri hesaplamada kritik rol oynar, toplam uçuş süresini belirler.

Sonraki Adımlar

Atış problemlerinde zaman ve yükseklik ilişkisini anlamak ister misiniz? Size adım adım çözümlü örnekler sunabilirim.

@Ayse_yildirir

3

Soru Tekrarı

Hava direncinin ihmal edildiği ortamda bir cisim, K noktasından v_0 ilk hızı ve 45° atış açısıyla fırlatılıyor. Yörüngenin tepe noktasından 3 s sonra L noktasında yere çarpmasına göre, çıkabileceği maksimum yükseklik (h_{\max}) ile atış uzaklığı (x_{\mathrm{menzil}}) oranı
\displaystyle \frac{h_{\max}}{x_{\mathrm{menzil}}}
kaçtır?

Önemli Noktalar

  • Atış açısı: 45°
  • Tepe noktasından yere düşme süresi: t_{\mathrm{tepe\to zemin}}=3\ \mathrm{s}
  • Yerçekimi ivmesi: g=10\ \mathrm{m/s^2}

Doğru Cevap

\displaystyle \frac{h_{\max}}{x_{\mathrm{menzil}}}=\frac{1}{4}

İçindekiler

  1. Derinlemesine Çözüm
  2. Kıyaslama Tablosu
  3. Özet Tablosu
  4. SSS

Derinlemesine Çözüm

  1. Tepe noktasından yere inme süresi, yükseliş süresiyle aynıdır.
    $$t_{\mathrm{tepe}} = \frac{v_0\sin\theta}{g} = 3\ \mathrm{s}$$
    Buradan
    $$v_0\sin45° = g\cdot 3 = 30\ \mathrm{m/s} \quad\Rightarrow\quad v_0 = \frac{30}{\sin45°} = 30\sqrt2\ \mathrm{m/s}.$$
  2. Atış uzaklığı (menzil) formülü:
    $$x_{\mathrm{menzil}}=\frac{v_0^2\sin2\theta}{g}
    = \frac{(30\sqrt2)^2\cdot1}{10} = \frac{1800}{10} = 180\ \mathrm{m}.$$
  3. Maksimum yükseklik formülü:
    $$h_{\max}=\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g}
    = \frac{1800\cdot\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)^2}{2\cdot10}
    = \frac{1800\cdot\tfrac12}{20}
    = 45\ \mathrm{m}.$$
  4. Oran:
    $$\frac{h_{\max}}{x_{\mathrm{menzil}}} = \frac{45}{180} = \frac{1}{4}.$$

Kıyaslama Tablosu

Özellik Formül 45° Atış Değeri
Maks. Yükseklik h_{\max}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} 45\ \mathrm{m}
Atış Uzaklığı x_{\mathrm{menzil}}=\displaystyle\frac{v_0^2\sin2\theta}{g} 180\ \mathrm{m}

Özet Tablosu

Büyüklük İfade Değer
h_{\max} \tfrac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} 45\ \mathrm{m}
x_{\mathrm{menzil}} \tfrac{v_0^2\sin2\theta}{g} 180\ \mathrm{m}
Oran \displaystyle\frac{h_{\max}}{x_{\mathrm{menzil}}} \tfrac{1}{4}

SSS

  1. Atış açısı 45° olduğunda menzil niye maksimum olur?
  2. Eğer tepe noktasından inme süresi farklı olsaydı, v_0 nasıl değişirdi?
  3. Hava direnci ihmal edilmezse menzil ve yükseklik nasıl etkilenir?
  4. Başka bir açıyla atılsa menzil x_{\mathrm{menzil}} nasıl bulunur?

Çalışmanızı pekiştirmek için bu konuda 3 adet alıştırma sorusu ister misiniz?
@Ayse_yildirir