Uzun kenarı [AB], kısa kenarı [BC] olan bir ABCD dikdörtgeninde köşegenlerin kesim noktası F’dir.
EF perp BD olacak şekilde [AB] kenarı üzerinde bir E noktası alınıyor.
|AE| = 2 birim ve |EB| = 6 birim olduğuna göre ABCD dikdörtgeninin alanı kaç birimkaredir?
A) 24\sqrt{2}
B) 26\sqrt{2}
C) 28\sqrt{2}
D) 30\sqrt{2}
E) 32\sqrt{2}
Dikdörtgende Diklik ve Alan Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Birbirine dik iki doğrunun eğimleri çarpımı -1’dir: m_1 \cdot m_2 = -1
- Dikdörtgenin alanı: \text{Alan}(ABCD) = |AB| \cdot |BC|
- Dikdörtgenin ağırlık merkezi (köşegenlerin kesim noktası F), kenarların orta noktalarının iz düşümüdür.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Kenar Uzunluklarını ve Noktaları Belirleme
ABCD dikdörtgeninde uzun kenar [AB] olup uzunluğu:
|AB| = |AE| + |EB| = 2 + 6 = 8\text{ birim}
Dikdörtgeni analitik düzleme yerleştirelim:
- A(0, 0)
- B(8, 0)
- C(8, b)
- D(0, b) (burada b = |BC| kısa kenar uzunluğudur)
Köşegenlerin kesim noktası F, [AC] ve [BD]'nin orta noktasıdır:
F = \left(\frac{8 + 0}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(4, \frac{b}{2}\right)
E noktası [AB] üzerinde ve |AE| = 2 birim olduğundan:
E = (2, 0)
Adım 2 — Diklik Şartını Uygulayarak Kısa Kenarı Bulma
EF \perp BD verildiğinden, bu iki doğru parçasının eğimleri çarpımı -1 olmalıdır.
- BD doğrusunun eğimi (m_{BD}):
m_{BD} = \frac{b - 0}{0 - 8} = -\frac{b}{8}
- EF doğrusunun eğimi (m_{EF}):
m_{EF} = \frac{\frac{b}{2} - 0}{4 - 2} = \frac{\frac{b}{2}}{2} = \frac{b}{4}
Diklik bağıntısını kuralım:
m_{EF} \cdot m_{BD} = -1
\left(\frac{b}{4}\right) \cdot \left(-\frac{b}{8}\right) = -1
-\frac{b^2}{32} = -1 \implies b^2 = 32 \implies b = 4\sqrt{2}\text{ birim}
Adım 3 — Dikdörtgenin Alanını Hesaplama
\text{Alan}(ABCD) = |AB| \cdot |BC| = 8 \cdot 4\sqrt{2} = 32\sqrt{2}\text{ birimkare}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 32\sqrt{2}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Ağırlık Merkezi (Simetri Merkezi): Dikdörtgende köşegenlerin kesim noktası kenarları iki eşit parçaya bölen dikmelerin kesişimidir.
- Doğruların Dikliği: Analitik geometride birbirine dik doğruların eğimleri çarpımı -1’dir (m_1 \cdot m_2 = -1).
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: F noktasının koordinatlarını doğrudan kenar uzunlukları gibi düşünüp oranları yanlış kurmak.- Doğru Yaklaşım: F noktasının apsisinin 8/2 = 4, ordinatının ise b/2 olduğunu belirterek eğim veya benzerlik bağıntısını oluşturmak.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir analitik geometri / benzerlik sorusu çözmek ister misin?