Eda bir pozitif tam sayının karekökünü alırken sonucu en yakın tam sayıya yuvarlamaktadır

Question Answer
1

Eda bir pozitif tam sayının karekökünü alırken sonucu en yakın tam sayıya yuvarlamaktadır.
Örneğin, 150 sayısı 12^2 = 144 ile 13^2 = 169 arasında olduğundan 144’e daha yakındır.
Bunun için \sqrt{150} = 12’dir.
Eda bir A pozitif tam sayısına aşağıdaki gibi karekök alma işlemini art arda 4 kez uyguladığında her birinde farklı bir değer bularak sonucu 1 buluyor.
\sqrt{A} = \dots , \sqrt{\dots} = \dots , \sqrt{3} = 2 , \sqrt{2} = 1
Buna göre
I. A sayısı 156 olabilir.
II. A sayısı en az 43 olur.
III. A sayısı 100 olabilir.
ifadelerinden hangileri doğrudur?
A) Yalnız I
B) I ve II
C) I ve III
D) II ve III
E) I, II ve III

Eda bir pozitif tam sayının karekökünü alırken sonucu en yakın tam sayıya yuvarlamaktadır.
Eda bir pozitif tam sayının karekökünü alırken sonucu en yakın tam sayıya yuvarlamaktadır.800×862 136 KB

2

Kareköklü Sayılarda En Yakın Tam Sayıya Yuvarlama ve İterasyon Analizi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir pozitif tam sayının karekökünün en yakın olduğu tam sayıyı bulmak için, sayının ardışık tam kareler (n^2 ve (n+1)^2) arasındaki konumu incelenir. İki tam karenin aritmetik ortalaması olan \frac{n^2 + (n+1)^2}{2} değerinden küçük olan sayılar n’ye, büyük olan sayılar ise n+1’e yuvarlanır.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Soruda verilen 4 adımlı karekök alma zinciri şu şekildedir:

  1. Adım: \sqrt{A} = B
  2. Adım: \sqrt{B} = 3
  3. Adım: \sqrt{3} = 2 (çünkü 3, 1^2=1’den ziyade 2^2=4’e daha yakındır: |3-4|=1 < |3-1|=2)
  4. Adım: \sqrt{2} = 1 (çünkü 2, 2^2=4’ten ziyade 1^2=1’e daha yakındır: |2-1|=1 < |2-4|=2)

Her adımda bulunan sonuçlar (B, 3, 2, 1) birbirinden farklı olmalıdır.

Adım 1 — \sqrt{B} = 3 Eşitliğini Sağlayan B Değer aralığının Belirlenmesi:
Bir sayının karekökünün 3’e yuvarlanması için 2^2 = 4 ile 3^2 = 9 ve 3^2 = 9 ile 4^2 = 16 arasındaki sınır değerlerine bakılır:

  • Alt sınır ortalaması: \frac{4 + 9}{2} = 6{,}5 \implies B \ge 7
  • Üst sınır ortalaması: \frac{9 + 16}{2} = 12{,}5 \implies B \le 12

Buradan B \in \{7, 8, 9, 10, 11, 12\} bulunur.

Adım 2 — Öncüllerin Değerlendirilmesi:

  • I. A sayısı 156 olabilir:
    12^2 = 144 ve 13^2 = 169 olup ortalamaları \frac{144 + 169}{2} = 156{,}5’tir.
    156 < 156{,}5 olduğundan \sqrt{156} = 12 olur (B = 12).
    B = 12 için \sqrt{12} = 3 çıkar. Değerler 12, 3, 2, 1 olup hepsi farklıdır. (I. öncül DOĞRU)

  • II. A sayısı en az 43 olur:
    A’nın en küçük değerini alması için B’nin de alabileceği en küçük değer olan 7 seçilmelidir (\sqrt{A} = 7).
    6^2 = 36 ile 7^2 = 49 arasındaki sınır ortalaması:

    \frac{36 + 49}{2} = 42{,}5

    Karekökü 7’ye yuvarlanan en küçük pozitif tam sayı 42{,}5’ten büyük ilk tam sayı olan 43’tür. (II. öncül DOĞRU)

  • III. A sayısı 100 olabilir:
    A = 100 için \sqrt{100} = 10 olur (B = 10).
    B = 10 için 10, 9’a daha yakın olduğundan \sqrt{10} = 3 çıkar.
    Değerler sırasıyla 10, 3, 2, 1 olur ve hepsi birbirinden farklıdır. (III. öncül DOĞRU)

:white_check_mark: CEVAP: E) I, II ve III

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Ardışık iki tam kare sayının (n^2 ile (n+1)^2) aritmetik ortalaması daima buçuklu bir sayı çıkar (n^2 + n + 0{,}5). Bu ortalama değer, yuvarlama yönünü belirleyen kesin eşik sınırıdır. Tam kareler arasındaki tam sayılar hiçbir zaman ortalamaya eşit olamayacağı için yuvarlamada kararsızlık yaşanmaz.