- sınıf LGS matematik denemelerinde ve yazılılarda en çok zorlandığım konu EBOB ve EKOK problemleri. Bir soruda bütünden parçaya mı gidiliyor, parçadan bütüne mi gidiliyor nasıl anlarız? Çuvallara, şişelere paylaştırma veya nöbet tutma, zil çalma sorularında hangisini kullanmalıyız? Adım adım örnekle açıklar mısınız?
[Özet Yanıt]
Bir problemde büyük parçalar daha küçük eşit parçalara ayrılıyor, bölünüyor veya paylaştırılıyorsa EBOB (En Büyük Ortak Bölen) kullanılır. Küçük parçalar, zaman aralıkları veya periyotlar bir araya getirilerek daha büyük bir bütüne/zamana ulaşılıyorsa EKOK (En Küçük Ortak Kat) kullanılır.
1. Problem Tipine Göre EBOB ve EKOK Karşılaştırma Tablosu
| Özellik | EBOB Problemleri (Bütünden Parçaya) | EKOK Problemleri (Parçadan Bütüne) |
|---|---|---|
| İşlem Mantığı | Büyük miktarları eşit hacim veya uzunluklara bölme | Küçük parçaları yan yana koyarak büyük şekil oluşturma |
| Tipik Sorular | • Çuvallardaki un/pirinci eşit poşetlere koyma • Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikme • Kumaşları, tahtaları eşit uzunlukta kesme |
• Nöbet günleri, otobüs sefer saatleri, zillerin birlikte çalması • Küçük tuğlalardan büyük küp yapma • Bilyeleri 3’er 5’er sayınca artan bilye soruları |
| Kullanılan Formül | Ortak asal çarpanların en küçük üsleri çarpılır | Tüm asal çarpanların en büyük üsleri çarpılır |
2. Adım Adım Örnek Soru Çözümleri
Örnek 1 (EBOB):
48 kg pirinç ve 60 kg mercimek birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükteki torbalara doldurulacaktır. En az kaç torba gerekir?
Çözüm Adımları:
- Torbaların kapasitesi hem 48’i hem de 60’ı tam bölmelidir. En az torba için torba hacmi en büyük olmalıdır \rightarrow EBOB(48, 60).
- Asal çarpan algoritması ile:48 = 2^4 \cdot 360 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5\text{EBOB}(48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12 \text{ kg (Bir torbanın alacağı maksimum miktar)}
- Torba sayısı:\frac{48}{12} + \frac{60}{12} = 4 + 5 = 9 \text{ torba gereklidir.}
Örnek 2 (EKOK):
İki otobüsten biri 15 dakikada bir, diğeri 20 dakikada bir sefere çıkmaktadır. Saat 08:00’de birlikte sefere çıkan bu iki otobüs, bir sonraki sefere saat kaçta birlikte çıkar?
Çözüm Adımları:
- Birlikte sefere çıkma zamanı her iki sürenin ortak katı olmalıdır \rightarrow EKOK(15, 20).
- Asal çarpanlarla:15 = 3 \cdot 520 = 2^2 \cdot 5\text{EKOK}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60 \text{ dakika (1 saat)}
- İlk hareket 08:00 olduğuna göre:08:00 + 01:00 = 09:00\text{'da tekrar birlikte sefere çıkarlar.}
3. Formül ve Kural Kartı
Kritik Kural: İki pozitif a ve b tam sayısı için:
\text{EBOB}(a, b) \cdot \text{EKOK}(a, b) = a \cdot bEğer a ve b aralarında asal ise: \text{EBOB}(a, b) = 1 ve \text{EKOK}(a, b) = a \cdot b olur.
4. Sık Yapılan Hatalar ve Öğretmen Uyarısı
- Tuzak 1 (Ağaç Dikme Soruları): Dikdörtgen tarlanın etrafına ağaç dikerken sadece EBOB bulup bırakmayın; ağaç sayısı çevrenin EBOB’a bölünmesiyle bulunur: \text{Ağaç Sayısı} = \frac{2 \cdot (a + b)}{\text{EBOB}(a, b)}.
- Tuzak 2 (Küp Yapma Soruları): Küçük prizmalardan küp yaparken küpün bir kenarı EKOK’tur; gereken prizma sayısı ise hacimlerin oranına eşittir: \frac{\text{Küpün Hacmi}}{\text{Prizmanın Hacmi}}.
EBOB ve EKOK Problem Ayrımı ve Temel Stratejiler
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Bütünden \rightarrow Parçaya (Bölme, parçalama, paylaştırma, eşit aralıklara ayırma) \rightarrow \text{EBOB} (En Büyük Ortak Bölen)
- Parçadan \rightarrow Bütüne (Birleştirme, katlanarak artma, zaman periyotları, karşılaşmalar) \rightarrow \text{EKOK} (En Küçük Ortak Kat)
1. Temel Mantık: Hangi Soruda Hangisi Kullanılır?
Problemi okurken kendine şu soruyu sormalısın: “Elimdeki değerler küçülüyor mu (bölünüyor mu), yoksa ileriye doğru katlanarak büyüyor mu?”
| Durum | EBOB Soruları (Bütünden Parçaya) | EKOK Soruları (Parçadan Bütüne) |
|---|---|---|
| Soru Tipleri | • Çuvallardaki un/şekerin torbalara paylaştırılması • Şişelerdeki sıvıların küçük kaplara aktarılması • Tarlanın etrafına eşit aralıklarla ağaç dikilmesi • Kumaşların, tahtaların eşit boyda kesilmesi |
• İki farklı zilin birlikte çalma saatleri • İki askerin veya hemşirenin aynı gün nöbet tutması • Bilyelerin üçer beşer sayılıp artması • Dikdörtgen fayanslarla kare zemin oluşturma |
| İşlem Yönü | Büyük miktarlar \rightarrow Küçük paketlere | Küçük zamanlar/parçalar \rightarrow Ortak büyük noktaya |
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Örnek 1: Çuvallara / Şişelere Paylaştırma (EBOB)
Soru: 48\text{ kg} pirinç ve 60\text{ kg} mercimek, birbirine karıştırılmadan ve hiç artmayacak şekilde eşit hacimli en büyük paketlere konulacaktır. Bir paketin ağırlığı kaç \text{kg} olmalıdır ve toplam kaç paket gerekir?
Adım 1 — Yöntemi Belirleme
Büyük çuvallar daha küçük paketlere bölüneceği için bütünden parçaya gidilmektedir. Paket ağırlığı ortak bölen olmalıdır. En büyük paket istendiği için \text{EBOB}(48, 60) bulunur.
Adım 2 — EBOB Hesabı
Asal çarpanlar algoritması uygulandığında:
48 = 2^4 \cdot 3
60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5
\text{EBOB}(48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12\text{ kg}
Her bir paketin alacağı miktar 12\text{ kg}'dır.
Adım 3 — Paket Sayısını Bulma
\text{Pirinç için paket sayısı} = \frac{48}{12} = 4\text{ adet}
\text{Mercimek için paket sayısı} = \frac{60}{12} = 5\text{ adet}
\text{Toplam paket sayısı} = 4 + 5 = 9\text{ adet}
Örnek 2: Zil Çalma / Nöbet Tutma (EKOK)
Soru: İki zilden birincisi 15 dakikada bir, ikincisi 20 dakikada bir çalmaktadır. Saat 08.00’de birlikte çalan bu ziller, en erken saat kaçta tekrar birlikte çalar?
Adım 1 — Yöntemi Belirleme
Ziller ileriye doğru periyodik aralıklarla çalmaktadır (15, 30, 45... ve 20, 40, 60...). Parça sürelerden ortak bir buluşma süresine (bütüne) gidildiği için ortak kat aranır. En erken karşılaşma istendiği için \text{EKOK}(15, 20) bulunur.
Adım 2 — EKOK Hesabı
15 = 3 \cdot 5
20 = 2^2 \cdot 5
\text{EKOK}(15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60\text{ dakika}
Ziller 60\text{ dakika} (1\text{ saat}) sonra tekrar birlikte çalacaktır.
Adım 3 — Saat Hesabı
\text{Yeni Saat} = 08.00 + 01.00 = 09.00
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bölen (EBOB): Bir miktarı kalansız parçalayabilen sayıdır. Soruda “en büyük hacimli kap”, “en geniş aralık”, “en az sayıda torba/fidan” ifadeleri genellikle EBOB’u işaret eder.
- Kat (EKOK): Belirli aralıklarla tekrar eden olayların ortak kesişim noktasıdır. Soruda “aynı anda”, “birlikte”, “tekrar”, “en küçük kare” ifadeleri genellikle EKOK’u işaret eder.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Paylaştırma sorularında yalnızca \text{EBOB} değerini bulup cevabı işaretlemek.
Doğru Yaklaşım: Soru kökünü dikkatli oku. Soru senden “bir paketin ağırlığını” mı istiyor (bu doğrudan \text{EBOB}'dur), yoksa “toplam paket sayısını” mı istiyor (bu toplam ağırlığı \text{EBOB}'a bölmektir)?- Hatalı Yaklaşım: Nöbet/zil sorularında ilk karşılaşmayı saymadan işlem yapmak veya periyotları toplamak (15 + 20 = 35 demek).
- Doğru Yaklaşım: Zaman aralıklarının doğrudan katları alınarak ortak kat (\text{EKOK}) hesaplanmalıdır.
Bu ayrımı daha iyi pekiştirmek için dikdörtgen bir bahçenin etrafına eşit aralıklarla direk dikme sorusu çözmek ister misin?