ki ara-
3, 12)
6. D
E X-*+ 108 =0 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı
kaçtır?
A) 31
B) 108
C) 6
D) 5
E) 4
x^{2x} - x^x + 108 = 0 eşitliğini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bu problemde üslü denklemleri çözmek için değişken değiştirme yöntemi kullanılacaktır. a^{2b} = (a^b)^2 özdeşliği de temel alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Değişken Değiştirme Yapma
Verilen denklem x^{2x} - x^x + 108 = 0 şeklindedir.
x^x = u dönüşümü yaparsak, denklem u^2 - u + 108 = 0 haline gelir.
Adım 2 — Yeni Denklemin Köklerini İnceleme
Elde edilen u^2 - u + 108 = 0 denkleminin diskriminantını (\Delta) hesaplayalım:
\Delta = b^2 - 4ac
\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 108
\Delta = 1 - 432
\Delta = -431
Adım 3 — Gerçek Kök Olup Olmadığını Belirleme
Diskriminant \Delta = -431 olduğu için \Delta < 0’dır. Bu durumda u^2 - u + 108 = 0 denkleminin gerçek kökleri yoktur.
Eğer u için gerçek bir değer bulamazsak, x^x = u eşitliğini sağlayan gerçek bir x değeri de bulamayız.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Bu eşitliği sağlayan gerçek x değerleri bulunmadığı için x değerlerinin toplamı yoktur veya 0 olarak kabul edilir. Seçenekler arasında böyle bir durum olmadığı için sorunun hata içerdiği veya karmaşık sayılarla ilgili olduğu düşünülebilir. Ancak YKS/TYT müfredatında genellikle gerçek sayılarla çalışıldığından, bu denklemin gerçek sayılar kümesinde çözümü yoktur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Değişken Değiştirme
- Tanım: Karmaşık denklemleri daha basit bir forma dönüştürmek için bir ifadenin yerine yeni bir değişken koyma yöntemidir.
- Bu problemde: x^x ifadesi u ile değiştirilerek denklem ikinci dereceden bir denkleme dönüştürüldü.
2. Diskriminant (\Delta)
- Tanım: İkinci dereceden bir denklemin (ax^2 + bx + c = 0) köklerinin doğasını belirleyen bir ifadedir. \Delta = b^2 - 4ac formülüyle hesaplanır.
- Bu problemde: \Delta < 0 çıktığı için u değişkeni için gerçek kökler bulunamadı.
SIK YAPILAN HATALAR:
Denklemi Çarpanlara Ayırmaya Çalışma
- Yanlış: Denklem u^2 - u + 108 = 0 çarpanlara ayrılabilecek gibi görünse de, bu kolayca mümkün değildir ve bizi yanlış sonuçlara götürebilir.
- Doğru: Her zaman önce diskriminantı kontrol etmek, denklemin gerçek köklere sahip olup olmadığını anlamak için en güvenilir yoldur.
- Neden yanlış: Eğer denklemin diskriminantı negatifse, çarpanlara ayırma yöntemiyle gerçek kökler bulunamaz.
Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü denklem çözümü yapmak ister misin?
@Humeyra_Bakkal üslü sayılarla çöz
@Humeyra_Bakkal Elbette, üslü sayılarla ilgili benzer bir problem çözelim ve bu konudaki bilginizi pekiştirelim.
4^x - 2^{x+1} - 8 = 0 eşitliğini sağlayan x değeri kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Üslü denklemlerde tabanları eşitleme veya değişken değiştirme yöntemleri kullanılır. a^{b+c} = a^b \cdot a^c ve (a^b)^c = a^{bc} özdeşlikleri temel alınır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Denklemi Düzenleme
Verilen denklem 4^x - 2^{x+1} - 8 = 0 şeklindedir.
4^x = (2^2)^x = 2^{2x} = (2^x)^2 olarak yazılabilir.
2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x olarak yazılabilir.
Denklem (2^x)^2 - 2 \cdot 2^x - 8 = 0 haline gelir.
Adım 2 — Değişken Değiştirme Yapma
Denklemi daha basit hale getirmek için 2^x = u dönüşümü yapalım.
Denklemimiz u^2 - 2u - 8 = 0 olur.
Adım 3 — İkinci Dereceden Denklemi Çözme
u^2 - 2u - 8 = 0 denklemini çarpanlara ayırarak köklerini bulalım:
Çarpımları -8 ve toplamları -2 olan iki sayı -4 ve 2’dir.
(u - 4)(u + 2) = 0
Buradan iki olası kök elde ederiz:
u - 4 = 0 \Rightarrow u = 4
u + 2 = 0 \Rightarrow u = -2
Adım 4 — x Değerlerini Bulma
Şimdi u = 2^x eşitliğini kullanarak x değerlerini bulalım:
-
Durum 1: u = 4
2^x = 4
2^x = 2^2
Tabanlar eşit olduğu için üsler de eşit olmalıdır:
x = 2 -
Durum 2: u = -2
2^x = -2
Üslü bir ifadenin (taban pozitif olduğunda) sonucu asla negatif olamaz. Bu nedenle 2^x = -2 eşitliğini sağlayan gerçek bir x değeri yoktur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Eşitliği sağlayan tek gerçek x değeri \mathbf{2}'dir.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Üslü İfadelerin Özellikleri
- Tanım: a^{b+c} = a^b \cdot a^c ve a^{bc} = (a^b)^c gibi kurallar, üslü denklemleri sadeleştirmek için kullanılır.
- Bu problemde: 4^x’i (2^x)^2 ve 2^{x+1}'i 2 \cdot 2^x olarak yazarak denklemi çözüme uygun hale getirdik.
2. Pozitif Tabanlı Üslü İfadeler
- Tanım: Pozitif bir tabana sahip üslü bir ifadenin (örneğin 2^x) sonucu her zaman pozitiftir.
- Bu problemde: 2^x = -2 durumunun neden çözüm olmadığını anlamak için bu kuralı kullandık.
SIK YAPILAN HATALAR:
Negatif Sonuçlu Üslü İfadeyi Çözmeye Çalışma
- Yanlış: 2^x = -2 gibi bir eşitlik gördüğünüzde, hemen bir x değeri bulmaya çalışmak yanlıştır.
- Doğru: Taban pozitifse, üslü ifadenin sonucu asla negatif olamaz. Bu nedenle bu tür durumları çözüm kümesine dahil etmemek gerekir.
- Neden yanlış: Logaritma veya karmaşık sayılar gibi daha ileri seviye konulara girmediğimiz sürece, gerçek sayılarda pozitif tabanlı üslü bir ifadenin negatif bir değere eşit olması mümkün değildir.
Bu çözdüğümüz problemde x=2 değerinin doğru olduğunu teyit etmek için yerine koyma işlemi yapmak ister misin?
Cevabı uzun değil de kısaca yaz
@Humeyra_Bakkal Elbette, soruyu kısaca açıklayalım.
x^{2x} - x^x + 108 = 0 Eşitliğini Sağlayan x Değerleri
ÇÖZÜMÜN ÖZETİ:
Bu denklemde x^x = u dönüşümü yaparsak, denklem u^2 - u + 108 = 0 şeklini alır. Bu ikinci dereceden denklemin diskriminantı (\Delta = b^2 - 4ac) hesaplandığında:
- \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 108 = 1 - 432 = -431 bulunur.
Diskriminant negatif (\Delta < 0) olduğu için, u için gerçek sayılarda bir kök yoktur. Dolayısıyla, x^x = u eşitliğini sağlayan gerçek bir x değeri de bulunmamaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: Bu eşitliği sağlayan gerçek x değerlerinin toplamı yoktur, çünkü gerçek sayılar kümesinde bir çözüm bulunmamaktadır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Bu tarz denklemlerde diskriminantın neden bu kadar önemli olduğunu açıklamamı ister misin?