e Tekrar Testi - 4. P(X) üçüncü dereceden gerçel katsayılı bir polinom ve Q(x) ikinci dereceden başkatsayısı 1 olan gerçel katsayılı bir polinomdur. P() polinomu ve Q(x) polinomundan her birinin iki farklı sifiri vardır. R(×) polinomu; R(9) P() Q() şeklinde tanimlanmiştır. P(-1) = Q(2) = 0 ve R(3) = 4 olduğuna göre P() polinomunun başkatsayısınin alabileceği değerler toplamı kaçtır? A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 TEST 1
E Tekrar Testi — 4. P(x) üçüncü dereceden gerçek katsayılı bir polinom ve Q(x) ikinci dereceden başkatsayısı 1 olan gerçek katsayılı bir polinomdur. P(-1)=Q(2)=0 ve R(3)=4 olduğuna göre P(x) polinomunun başkatsayısının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Önemli Noktalar
- Q(x) ikinci derecedir ve başkatsayısı 1’dir: bu nedenle Q(x) = (x-2)(x+1) olmalıdır.
- Q(x) polinomu P(x)’i böldüğü için (çünkü R(x)=P(x)/Q(x) bir polinom olarak verilmiş) P(x) kökleri 2 ve -1’i içerir; biri tek, biri çift katlıdır.
- İki olası yapı: P(x)=a(x+1)^2(x-2) veya P(x)=a(x+1)(x-2)^2. Bu ikisinden elde edilen a değerleri 1 ve 4’tür; toplam 5.
Çözüm özeti (snippet, 40–60 kelime): Q(x) = (x−2)(x+1) olduğu için Q, P’yi böler; P’nin tek farklı iki kökü 2 ve −1’dir. P(x)=a(x+1)^2(x−2) veya a(x+1)(x−2)^2 olur. R(3)=4 verisinden a = 1 veya a = 4 çıkar. Baş katsayıların toplamı 5.
İçindekiler
Tanım ve Temel Kavramlar
- P(x): Üçüncü dereceden, reel katsayılı; “iki farklı sıfırı vardır” ifadesi, kök setinin iki farklı değer içerdiğini (biri çift katlı) gösterir.
- Q(x): İkinci dereceden, başkatsayısı 1, iki farklı kökü var ve Q(2)=0 verildiğine göre köklerden biri 2’dir.
- R(x): Tanımda bir polinom olarak verilmiş; yani Q(x), P(x)’i tam böler (P(x) = Q(x)·R(x)). Bu kritik şart problemi belirler.
Pro Tip: “R(x) polinomudur” ifadesini dikkatle okuyun — bu, bölünebilirlik şartını (tam bölme) doğrudan getirir.
Çözüm Adımları
-
Q(x)'in kökleri: Bir kök 2 olduğuna göre diğer kökün -1 olması gerekir çünkü P(-1)=0 ve Q kökleri P içinde olmalıdır (P’nin sadece iki farklı kökü var). Dolayısıyla
Q(x) = (x-2)(x+1) (baş katsayı 1 sağlanır). -
Q, P’yi böldüğüne göre P’nin kökleri {2, −1}’dir; üçüncü derece olduğundan bir kök çift katlı olmalıdır. İki yapı mümkündür:
- (A) P(x) = a(x+1)^2(x−2)
→ R(x) = a(x+1) - (B) P(x) = a(x+1)(x−2)^2
→ R(x) = a(x−2)
- (A) P(x) = a(x+1)^2(x−2)
-
R(3)=4 koşulunu uygula:
- (A) R(3) = a(3+1) = 4a = 4 → a = 1
- (B) R(3) = a(3−2) = a = 4 → a = 4
-
Baş katsayısı (a) için mümkün değerler 1 ve 4. Toplam = 1 + 4 = 5.
Uyarı: Eğer R(x) “rantional fonksiyon” kabul edilseydi sonsuz çözüm olurdu; burada R’nin polinom olduğuna dikkat etmek gerekiyor.
Karşılaştırma Tablosu
| Aspect | P(x) | Q(x) |
|---|---|---|
| Derece | 3 | 2 |
| Baş katsayı | a (aranıyor) | 1 |
| Kök sayısı (farklı) | 2 (biri çift katlı) | 2 (farklı) |
| Kökler (bulunan) | {2, -1} (birinin çokluk 2) | {2, -1} |
| Bölünebilirlik | P = Q·R (evet) | — |
Özet Tablo
| Element | Details |
|---|---|
| Q(x) | (x−2)(x+1), baş katsayı 1 |
| P(x) seçenekleri | a(x+1)^2(x−2) veya a(x+1)(x−2)^2 |
| R(3)=4 sonucu | a = 1 veya a = 4 |
| Baş katsayıların toplamı | 5 |
| Doğru seçenek | E) 5 |
Sık Sorulan Sorular
- P(x) neden Q(x)’i içermek zorunda?
- Çünkü problemde R(x)=P(x)/Q(x) ifadesi veriliyor ve R(x) “polinom” olarak tanımlanmış; bu, Q(x)’in P(x)’i tam olarak bölmesi gerektiği anlamına gelir.
- P(x)'in köklerinin farklı olması ne anlama gelir?
- “İki farklı sıfırı vardır” ifadesi, P’nin kök kümesinin iki farklı değer içerdiğini, üçüncü kökün bunlardan birinin tekrar kökü (çokluk) olduğunu gösterir.
- Q(2)=0 verisi nasıl kullanıldı?
- Q’nin bir kökünün 2 olduğu biliniyordu; P(-1)=0 ile birleşince Q’nin diğer kökünün -1 olduğu ve böylece Q(x)=(x−2)(x+1) bulundu.
Sonraki Adımlar
İsterseniz benzer bir soruyu adım adım bölme işlemine (polinom bölmesiyle) göstererek daha fazla alıştırma hazırlarım; hangisini tercih edersiniz? @Leylaimecnunu
E Tekrar Testi - 4. Soru Çözümü: P(x) Polinomunun Baş Katsayısı
Önemli Noktalar
- P(x), üçüncü dereceden gerçek katsayılı polinom olup iki farklı sıfırı vardır ve P(-1) = 0 koşulunu sağlar.
- Q(x), ikinci dereceden, baş katsayısı 1 olan gerçek katsayılı polinom olup iki farklı sıfırı vardır ve Q(2) = 0.
- R(x) = P(x) / Q(x) bir polinomdur (dolayısıyla Q(x), P(x)'i böler) ve R(3) = 4.
- P(x)'in baş katsayısı a için olası değerler 1 ve 4’tür; toplamları 5’tir (cevap: E).
P(x) üçüncü dereceden polinom olup Q(x)'i böldüğü için R(x) birinci dereceden (doğrusal) polinomdur. Q(x)'in kökleri P(x)'in kökleridir ve P(x)'in tam 2 farklı sıfırı olduğundan, kökler arasında çakışma (çoklu kök) olmalıdır. P(-1) = 0 ve Q(2) = 0 koşullarından yola çıkarak, Q(x) = (x - 2)(x + 1) formundadır (kökler: 2 ve -1). R(x) = a(x - s) olup s = -1 veya s = 2 durumlarında a = 1 veya a = 4 bulunur.
İçindekiler
- Problem Analizi ve Varsayımlar
-
-
- Baş Katsayı Hesaplaması
- Karşılaştırma Tablosu: Olası Durumlar
- Özet Tablo
- Sık Sorulan Sorular
Problem Analizi ve Varsayımlar
Polinom bölme ve kök teoremi kullanılarak çözüm yapılır. P(x) üçüncü dereceden olduğundan üç kökü vardır (gerçek katsayılar altında karmaşık kökler çift gelirdi, ancak iki farklı gerçek sıfır koşuluyla tüm kökler gerçeldir ve bir tanesi çiftli olmalıdır).
Temel Varsayımlar:
- R(x) polinom olduğundan deg R = 1 (doğrusal: R(x) = ax + b, baş katsayı a ile aynı).
- Q(x)'in kökleri (2 ve başka bir kök k ≠ 2) P(x)'in kökleridir.
- P(-1) = 0 koşulu, -1’in P(x) kökü olmasını sağlar.
- İki farklı sıfır için kök kümesi {2, k, r} (burada r: R(x) kökü) tam 2 eleman içermelidir.
Kök Teoremi Uygulaması: P(x) = R(x) · Q(x), yani P(x)'in kökleri Q(x)'in kökleri ile R(x)'in köküdür. P(-1) = 0 için ya k = -1 ya da r = -1 olmalıdır.
Q(x)'in Formu
Q(x) ikinci dereceden, baş katsayısı 1, iki farklı gerçek sıfırı vardır ve Q(2) = 0. Genel form:
Q(x) = (x - 2)(x - k), burada k ≠ 2 (farklı sıfırlar için).
P(-1) = 0 ve Q(x) | P(x) için -1 de kök olmalıdır. Analiz:
- Eğer k ≠ -1 ise, r = -1 (ancak bu durumda kökler {2, k, -1} üç farklı olur, çelişki).
- Dolayısıyla k = -1 zorunludur: Q(x) = (x - 2)(x + 1) = x² - x - 2.
Doğrulama: Kökler 2 ve -1 (farklı), baş katsayı 1, Q(2) = 0.
P(x)'in Olası Formları
P(x) = R(x) · Q(x) = a(x - s) · (x - 2)(x + 1), burada s: R(x) kökü. İki farklı sıfır için s = 2 veya s = -1 (kök çakışması).
Durum 1: s = -1 (çift kök -1’de)
R(x) = a(x + 1)
P(x) = a(x + 1) · (x - 2)(x + 1) = a(x + 1)² (x - 2)
Kökler: -1 (çarpan 2), 2 (çarpan 1) → İki farklı sıfır.
Durum 2: s = 2 (çift kök 2’de)
R(x) = a(x - 2)
P(x) = a(x - 2) · (x - 2)(x + 1) = a(x - 2)² (x + 1)
Kökler: 2 (çarpan 2), -1 (çarpan 1) → İki farklı sıfır.
Her iki form da P(-1) = 0 sağlar ve üçüncü derecedir.
Anahtar Nokta: Çift kök, polinomun türevinde sıfır vermez ama kök sayısını 2’ye indirir. Gerçek katsayılar altında başka çakışma mümkün değildir.
Baş Katsayı Hesaplaması
R(3) = 4 koşuluyla a bulunur.
Durum 1: R(x) = a(x + 1) → R(3) = a(3 + 1) = 4a = 4 → a = 1.
P(x) = 1 · (x + 1)² (x - 2) = (x + 1)² (x - 2) (baş katsayı 1).
Durum 2: R(x) = a(x - 2) → R(3) = a(3 - 2) = a · 1 = 4 → a = 4.
P(x) = 4 · (x - 2)² (x + 1) (baş katsayı 4).
Olası a Değerleri: 1 ve 4. Toplam: 1 + 4 = 5.
Matematiksel Doğrulama (Durum 1):
P(x) = (x² + 2x + 1)(x - 2) = x³ - 2x² + 2x² - 4x + x - 2 = x³ - 3x - 2 (baş 1).
R(x) = P(x)/Q(x) = (x + 1), R(3) = 4 evet.
Matematiksel Doğrulama (Durum 2):
P(x) = 4(x² - 4x + 4)(x + 1) = 4(x³ + x² - 4x² - 4x + 4x + 4) = 4(x³ - 3x² + 4) = 4x³ - 12x² + 16 (baş 4).
R(x) = 4(x - 2), R(3) = 4(1) = 4 evet.
Karşılaştırma Tablosu: Olası Durumlar
| Özellik | Durum 1 (a = 1) | Durum 2 (a = 4) |
|---|---|---|
| R(x) | a(x + 1) | a(x - 2) |
| Çift Kök | -1 (çarpan 2) | 2 (çarpan 2) |
| Tek Kök | 2 (çarpan 1) | -1 (çarpan 1) |
| P(x) Kökleri | -1, -1, 2 | -1, 2, 2 |
| Farklı Sıfır Sayısı | 2 | 2 |
| R(3) Hesabı | 4(1) = 4 | 4(1) = 4 |
| P(x) Baş Katsayısı | 1 | 4 |
Sonuç: Her iki durum da koşullarını sağlar; başka durum yoktur (üç farklı kök çelişkili).
Özet Tablo
| Unsur | Detay |
|---|---|
| Q(x) | (x - 2)(x + 1) = x² - x - 2 (baş katsayı 1) |
| R(x) Genel | a(x - s), s = -1 veya 2 |
| Durum 1 | a = 1, P(x) = (x + 1)² (x - 2) |
| Durum 2 | a = 4, P(x) = 4(x - 2)² (x + 1) |
| Olası a Değerleri | 1, 4 |
| Toplam | 5 |
| Cevap Seçeneği | E) 5 |
| Kritik Koşul | R(3) = 4 ve 2 farklı sıfır |
Sık Sorulan Sorular
1. Neden Q(x)'in diğer kökü mutlaka -1 olmalıdır?
P(-1) = 0 ve Q(x) | P(x) için -1, Q(x)'in kökü olmalıdır (aksi takdirde R(-1) = 0 üç farklı kök verir, çelişki). Q(x)'in iki farklı kökü 2 ve -1 olur.
2. P(x)'in iki farklı sıfırı nasıl sağlanır?
Kökler {2, -1, s} kümesinde s’nin 2 veya -1’e eşit olmasıyla çift kök oluşur. Üçüncü kökün farklı olması 3 sıfır verirdi, problemle çelişirdi.
3. R(x)'in polinom olması ne anlama gelir?
P(x)/Q(x)'in kalan olmadan tam bölünmesi, yani Q(x)'in P(x)'i tam böldüğü anlamına gelir. Derece farkı 1 olduğundan R(x) doğrusaldır.
4. Başka olası a değeri var mı?
Hayır; sadece iki çakışma durumu vardır. Karmaşık kök eklenemez (gerçek katsayılar ve sıfır sayısı 2).
5. Bu tür sorularda türev neden kullanılmaz?
Çift kök için türev sıfır verir ama burada faktörizasyon yeterli; türev, köklerin çokluğunu doğrulamak için ek araçtır (örneğin P’(x) = 0 çift kök noktasında).
Sonraki Adımlar
Bu çözümü pekiştirmek için benzer bir polinom bölme sorusu mu çözelim, yoksa kök teoremi üzerine örnek quiz mi hazırlayayım?