E OSLU IFADELER IFADELERLE ILGİLTEANENvETLERİ VE 0SLO Eskişehir ile Hatay arasındaki uzaklsk 971 klornetre Sanlusta le

Maths Question
1

E OSLU IFADELER
IFADELERLE ILGİLTEANENvETLERİ VE 0SLO
Eskişehir ile Hatay arasındaki uzaklsk 971 klornetre Sanlusta le Hatay arasındak uzakdk 354 kilcetedir
Eskisehir
A) 7
Hatay
Eskişehir’den Hatay’a uğrayarak Şanilturfa’ya gidecek olan Zeynep. Eskişehir-Hatay yolunda Eskişehire uzak
ikları kilometre cinsinden 3ün asal sayı kuvvetleri olan noktalarda, Hatay’dan sonra Hatay’a uzakliklari kilorvet-
re türünden 5’in doğal sayı kuvvetlerl olan noktalarda mola verilmiştir.
Buna göre Zeynep yolculuğu boyunca toplamda kaç mola vermiştr?
B) 8
8.SIMIE
MATEMATIK
C)9
D) 10

E OSLU IFADELER IFADELERLE ILGİLTEANENvETLERİ VE 0SLO Eskişehir ile Hatay arasındaki...
E OSLU IFADELER IFADELERLE ILGİLTEANENvETLERİ VE 0SLO Eskişehir ile Hatay arasındaki...1024×768 162 KB

2

Üslü İfadeler Yolculuk Problemi Çözümü

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL VE KURALLAR:

  • Bir sayının üslü kuvvetleri hesaplanırken taban kendi kendine üstteki sayı kadar çarpılır (a^n).
  • Asal sayılar, sadece 1’e ve kendine bölünebilen 1’den büyük doğal sayılardır (2, 3, 5, 7, 11 vb.). Dolayısıyla 3’ün asal sayı kuvvetleri demek, 3^x ifadesindeki x üssünün bir asal sayı olması demektir (x \in \{2, 3, 5, 7, 11, ...\}).
  • Doğal sayı kuvvetleri ise 0 ve pozitif tam sayıları kapsar (5^y için y \in \{0, 1, 2, 3, ...\}).

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Eskişehir - Hatay Yolundaki Molaların Belirlenmesi

  • Zeynep, Eskişehir’den Hatay’a doğru giderken Eskişehir’e uzaklıkları kilometre cinsinden 3’ün asal sayı kuvvetleri olan noktalarda mola vermiştir.
  • Eskişehir ile Hatay arasındaki toplam mesafe 971\text{ km}'dir.
  • 3’ün kuvvetlerini sırasıyla inceleyelim ve üssün asal sayı olup olmadığını kontrol edelim:
    • 3^1 = 3 (Üs 1 asal sayı değildir.)
    • 3^2 = 9 (Üs 2’dir, asal sayıdır.) :backhand_index_pointing_right: 1. Mola (9\text{. km})
    • 3^3 = 27 (Üs 3’tür, asal sayıdır.) :backhand_index_pointing_right: 2. Mola (27\text{. km})
    • 3^4 = 81 (Üs 4 asal sayı değildir.)
    • 3^5 = 243 (Üs 5’tir, asal sayıdır.) :backhand_index_pointing_right: 3. Mola (243\text{. km})
    • 3^6 = 729 (Üs 6 asal sayı değildir.)
    • 3^7 = 2187 (971\text{ km}'yi aştığı için bu yolda başka mola yoktur.)
  • Eskişehir - Hatay arasında verilen mola sayısı: 3 tanedir (9, 27, 243).

Adım 2 — Hatay - Şanlıurfa Yolundaki Molaların Belirlenmesi

  • Zeynep, Hatay’dan sonra Şanlıurfa’ya giderken Hatay’a uzaklıkları kilometre cinsinden 5’in doğal sayı kuvvetleri olan noktalarda mola vermiştir.
  • Hatay ile Şanlıurfa arasındaki toplam mesafe 354\text{ km}'dir.
  • 5’in doğal sayı kuvvetlerini 354\text{ km} sınırına kadar hesaplayalım (5^0, 5^1, 5^2, ...):
    • 5^0 = 1 :backhand_index_pointing_right: 1. Mola (1\text{. km})
    • 5^1 = 5 :backhand_index_pointing_right: 2. Mola (5\text{. km})
    • 5^2 = 25 :backhand_index_pointing_right: 3. Mola (25\text{. km})
    • 5^3 = 125 :backhand_index_pointing_right: 4. Mola (125\text{. km})
    • 5^4 = 625 (354\text{ km}'yi aştığı için bu aralıkta başka mola yoktur.)
  • Hatay - Şanlıurfa arasında verilen mola sayısı: 4 tanedir (1, 5, 25, 125).

Adım 3 — Toplam Mola Sayısının Hesaplanması

  • Eskişehir - Hatay arasında verilen mola sayısı = 3
  • Hatay - Şanlıurfa arasında verilen mola sayısı = 4
  • Ancak dikkat edilmesi gereken kritik nokta: Hatay şehri başlangıç/bitiş noktasıdır. Hatay’da (yani Hatay’a 0\text{ km} uzaklıkta) soru metnine göre Hatay’dan sonraki kısım için 5’in kuvvetleri aranır. 5^0 = 1\text{ km} olduğundan Hatay’ın kendisinde mola verilmemiştir, ilk mola Hatay’dan 1\text{ km} sonra verilmiştir.
  • Toplam mola sayısı = 3 + 4 = 7 olarak görünür ancak seçeneklerde 7 var mı kontrol edelim: A) 7, B) 8, C) 9, D) 10.
  • Yeniden kontrol edelim:
    • 3’ün asal sayı kuvvetleri (3^2=9, 3^3=27, 3^5=243): 3 mola
    • 5’in doğal sayı kuvvetleri (5^0=1, 5^1=5, 5^2=25, 5^3=125): 4 mola
    • Toplam 3 + 4 = 7 görünmektedir. Ancak burada gözden kaçan bir detay var mıdır? Soruda “Hatay’dan sonra” deniliyor. 5^0 = 1 birinci mola, 5^1 = 5 ikinci mola, 5^2 = 25 üçüncü mola, 5^3 = 125 dördüncü mola.
    • 3’ün asal kuvvetleri: 3^2=9, 3^3=27, 3^5=243 (\mathbf{3} adet).
    • Acaba 3^1=3 asal sayı mıdır? 3 bir asal sayıdır! Ancak üssü değil, kendisi asaldır. Soru metni “3’ün asal sayı kuvvetleri” demektedir; yani üssün asal olması gerekir (3^2, 3^3, 3^5 üsleri 2, 3, 5 olan asal kuvvetlerdir). 3^1’in üssü 1’dir ve 1 asal sayı değildir.
    • Tekrar toplayalım: 3 + 4 = 7. Seçeneklerde A şıkkı 7’dir.
    • Soru kökündeki molaların toplamı: 3 + 4 = 7 mola yapmaktadır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) 7
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Asal Sayı Kuvvetleri

  • Tanım: Bir üslü ifadenin tabanı sabitken, üssün bir asal sayı (2, 3, 5, 7, 11...) olması durumudur.
  • Bu problemde: 3^2, 3^3 ve 3^5 ifadelerinde üsler (2, 3 ve 5) asal sayı olduğu için bu noktalar mola yeri olarak seçilmiştir.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: 1 sayısını asal sayı kabul etmek

  • Yanlış: 3^1 ifadesindeki üs 1’dir ve 1’i asal kabul ederek mola sayısına dahil etmek.
  • Doğru: 1 asal sayı değildir. En küçük asal sayı 2’dir. Bu nedenle 3^1 dikkate alınmaz, 3^2 ile başlanır.
  • Neden yanlış: Öğrenciler genellikle 1’i asal sayı sanarak fazladan bir mola hesap hatası yaparlar.

Bu konuyu pekiştirmek için benzer bir üslü ifadeler ve mesafe problemi çözmemi ister misin?