x, y \text{ ve } z Negatif Tam Sayıları İçin x + y + z Toplamının En Büyük Değeri (Soru 62)
KULLANILAN KURAL / FORMÜL:
Birden fazla orantıda ortak olan değişkenin katsayıları \text{EKOK} (En Küçük Ortak Kat) yardımıyla eşitlenir. Negatif tam sayılarda toplamın en büyük (sıfıra en yakın) olması için mutlak değerce en küçük negatif katsayı (k = -1) seçilir.
\frac{x}{y} = \frac{a}{b} \quad \text{ve} \quad \frac{y}{z} = \frac{c}{d} \implies y = \text{EKOK}(b, c) \cdot k
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Ortak Değişken y’nin Genişletilmesi
Her iki orantıda da ortak olan değişken y’dir. y’nin karşısındaki sayılar 5 ve 4’tür. 5 ve 4’ün en küçük ortak katı:
\text{EKOK}(5, 4) = 20
Oranları y = 20 olacak şekilde genişletelim:
\frac{x}{y} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20}
\frac{y}{z} = \frac{4 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{20}{15}
Adım 2 — Değişkenlerin k Katı Cinsinden Yazılması
Genişletilen oranlara göre değişkenler ortak bir k parametresine bağlanır:
x = 12k
y = 20k
z = 15k
Adım 3 — Negatif Tam Sayı Şartına Göre k Değerinin Belirlenmesi
Soruda x, y, z sayılarının negatif tam sayılar (\mathbb{Z}^-) olduğu belirtilmiştir. Bu durumda k bir negatif tam sayı olmalıdır (k \in \{-1, -2, -3, \dots\}).
x + y + z toplamının en çok (en büyük) olması istendiğinden, toplamı sıfıra en yakın yapan k = -1 değeri seçilir:
x = 12 \cdot (-1) = -12
y = 20 \cdot (-1) = -20
z = 15 \cdot (-1) = -15
Adım 4 — Toplamın Hesaplanması
Bulunan değerleri toplayalım:
x + y + z = (-12) + (-20) + (-15) = -47
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: -47 (A Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Oran-Orantıda Değişken Eşitleme
- Tanım: İki farklı oranda aynı değişken yer alıyorsa, orantıların katsayıları bu değişkenin ortak katında eşitlenerek tek bir ortak orantı zinciri kurulur.
- Bu problemde: İlk oranda y \to 5, ikinci oranda y \to 4 ile orantılı olduğu için pay ve paydalar sırasıyla 4 ve 5 ile genişletilip y = 20k yapılmıştır.
2. Negatif Tam Sayılarda Sıralama ve Büyüklük
- Tanım: Negatif tam sayılarda sıfıra daha yakın olan sayı mutlak değerce küçük, ancak sayısal değer olarak daha büyüktür.
- Bu problemde: Toplamın en büyük olması için mutlak değerce en küçük negatif katsayı olan k = -1 alınmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
k = 1 Alarak Pozitif Değerler Üzerinden Çözüm Yapmak
- Yanlış: x = 12, y = 20, z = 15 \implies x+y+z = 47 bulup soruda verilen “negatif tam sayı” öncülünü göz ardı etmek.
- Doğru: Tanım kümesine dikkat ederek k = -1 almak ve -47 değerine ulaşmak.
- Neden yanlış: Soru kökünde x, y, z \in \mathbb{Z}^- şartı açıkça belirtilmiştir.
y Değerini Eşitlemeden Değer Vermek
- Yanlış: İlk orandan x = -3, y = -5, ikinci orandan y = -4, z = -3 kabul edip çelişkili y değerleriyle işlem yapmak.
- Doğru: İki bağıntıda da y aynı sayısal büyüklüğü temsil etmek zorunda olduğundan \text{EKOK} ile eşitleme yapılmalıdır.
- Neden yanlış: y değişkeni aynı sistemde aynı anda iki farklı değere sahip olamaz.
Görseldeki diğer sorulardan (61, 64 veya 65) birinin de adım adım ayrıntılı çözümünü yapmamı ister misin?
