Dytal bir aletin üst ekraninda yan yana bulunan iki
kare hücrecten soldakine bir sayı girildiginde, sağdaki
hicre otomatik olarak bu sayinın rakamları toplam \int
gÖstermekte, aletin alt ekraninda ise üst ekranın iki
karesindeki sayilarn çarpimı gösterilmektedir.
sayı, üst ekranda soldaki kutuya yazılan iki basamaklı
sayist yaziliğında dijital aletin görünümü aşağıdaki
gibidir.
20 2
40
iki basamaklı AB doğal sayısı için alt ekranda oluşan
fazladır.
A) 1
Buna göre AB farkı kaçtır?
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
İki Basamaklı Sayılar ve Çözümleme
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- İki basamaklı bir sayının basamak çözümlemesi:AB = 10A + BBA = 10B + A
- İki sayının farkının çözümlenmiş hâli:AB - BA = (10A + B) - (10B + A) = 9(A - B)
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Alt ekrandaki değerleri cebirsel olarak ifade etme
Üst sol hücreye yazılan sayının rakamları toplamı sağ hücrede görünmekte, alt ekranda ise bu iki değerin çarpımı oluşmaktadır.
-
AB sayısı girildiğinde:
- Rakamlar toplamı: A + B
- Alt ekrandaki değer: AB \cdot (A + B)
-
BA sayısı girildiğinde:
- Rakamlar toplamı: B + A = A + B
- Alt ekrandaki değer: BA \cdot (A + B)
Adım 2 — Verilen fark eşitliğini kurma ve ortak çarpan parantezine alma
AB sayısı için oluşan değerin, BA sayısı için oluşan değerden 108 fazla olduğu belirtilmiştir:
AB \cdot (A + B) - BA \cdot (A + B) = 108
İfadeyi (A + B) ortak parantezine alalım:
(AB - BA) \cdot (A + B) = 108
Adım 3 — Basamak çözümlemesi uygulama
AB - BA = 9(A - B) eşitliğini yerine yazalım:
9(A - B) \cdot (A + B) = 108
Eşitliğin her iki tarafını 9’a bölelim:
(A - B) \cdot (A + B) = 12
Adım 4 — Parite (teklik-çiftlik) analizi ile çarpanları belirleme
A ve B birer rakam olmak üzere, (A + B) ve (A - B) sayılarının toplamı:
(A + B) + (A - B) = 2A
olduğundan toplamları çifttir. Bu durum, (A - B) ve (A + B) çarpanlarının aynı pariteye (ikisinin de çift) sahip olması gerektiğini gösterir.
Çarpımları 12 olan pozitif çift sayı çifti yalnızca:
(A - B) = 2 \quad \text{ve} \quad (A + B) = 6
değerleridir.
Denklem sistemini çözersek:
2A = 8 \implies A = 4
B = 2
(4 ve 2 sıfırdan farklı birer rakam olduğundan iki basamaklı sayı şartını sağlar.)
Buradan aranan fark:
A - B = 4 - 2 = 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Basamak Çözümlemesi: Bir sayının basamak değerlerinin toplamı biçiminde yazılmasıdır (AB - BA = 9(A - B) özelliği pratiklik sağlar).
- Parite Kuralı: İki tam sayının toplamı ile farkının teklik-çiftlik durumları daima aynıdır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: 12’nin çarpanlarını ararken 1 \times 12 veya 3 \times 4 çiftlerini deneyip tam sayı/rakam çıkmayan sonuçlarla vakit kaybetmek.- Doğru Yaklaşım: (A - B) ve (A + B) ifadelerinin aynı anda ya tek ya da çift olması gerektiğini fark ederek doğrudan 2 \times 6 çarpanını seçmek.
Benzer bir basamak analizi sorusu daha çözerek konuyu pekiştirmek ister misin?