Soru: Şeker-su karışımıyla ilgili işlemleri çözerek son durumda karışımın yüzde kaç şeker olduğunu bulacağız.
Problemin Özeti ve Çözümü
-
Başlangıç Karışımı:
Karışımın başında %30 şeker içeren 400 gramlık bir karışım var. Buna göre:- Şeker miktarı = 400 \cdot 0.30 = 120 gram,
- Su miktarı = 400 - 120 = 280 gram.
-
2/5’i Dökülüp Saf Şeker Eklenmesi:
-
Karışımın 2/5’i dökülüyor, yani dökülen miktar:
$$ 400 \cdot \frac{2}{5} = 160 , \text{gram}. $$
160 gramın içinde:- Şeker miktarı = 120 \cdot \frac{2}{5} = 48 \, \text{gram},
- Su miktarı = 280 \cdot \frac{2}{5} = 112 \, \text{gram}.
-
Kalan miktar:
$$ 400 - 160 = 240 , \text{gram}, $$- Şeker miktarı (kalan) = 120 - 48 = 72 \, \text{gram},
- Su miktarı (kalan) = 280 - 112 = 168 \, \text{gram}.
-
Dökülen kısmın yerine aynı miktarda saf şeker ekleniyor (160 gram ekleniyor):
- Eklenen şeker miktarı = 160 \, \text{gram}.
-
Yeni karışım:
- Toplam şeker miktarı = 72 + 160 = 232 \, \text{gram},
- Toplam miktar = 240 + 160 = 400 \, \text{gram}.
- Su miktarı değişmez = 168 \, \text{gram}.
-
-
1/4’ü Dökülüp %18 Şeker Karışımı Eklenmesi:
-
Karışımın 1/4’ü dökülüyor, yani dökülen miktar:
$$ 400 \cdot \frac{1}{4} = 100 , \text{gram}. $$
100 gramın içinde:- Şeker miktarı = 232 \cdot \frac{1}{4} = 58 \, \text{gram},
- Su miktarı = 168 \cdot \frac{1}{4} = 42 \, \text{gram}.
-
Kalan miktar:
$$ 400 - 100 = 300 , \text{gram}, $$- Şeker miktarı (kalan) = 232 - 58 = 174 \, \text{gram},
- Su miktarı (kalan) = 168 - 42 = 126 \, \text{gram}.
-
Dökülen kısmın yerine aynı miktarda %18 şeker içeren karışım ekleniyor (100 gram):
- Eklenen şeker miktarı = 100 \cdot 0.18 = 18 \, \text{gram},
- Eklenen su miktarı = 100 - 18 = 82 \, \text{gram}.
-
Yeni karışım:
- Toplam şeker miktarı = 174 + 18 = 192 \, \text{gram},
- Toplam miktar = 300 + 100 = 400 \, \text{gram}.
- Su miktarı = 126 + 82 = 208 \, \text{gram}.
-
-
Son Karışımın Şeker Yüzdesi:
Şeker yüzdesi hesaplamak için:
$$ \text{Şeker yüzdesi} = \frac{\text{Toplam şeker miktarı}}{\text{Toplam miktar}} \cdot 100 $$
$$ \text{Şeker yüzdesi} = \frac{192}{400} \cdot 100 $$
$$ \text{Şeker yüzdesi} = 48. $$
Sonuç:
Son durumda karışımın yüzde şeker oranı %48’dir (C şıkkı).
@username
Yukarıda verilen şeker-su karışımının 2/5’i dökülüp yerine aynı miktarda saf şeker eklenmesi ve sonrasında elde edilen karışımın 1/4’ü dökülüp aynı miktarda %18’lik şekerli su eklenmesi aşamalarını adım adım takip edelim. Soruda karışımın başlangıçta %30 şeker içeren 400 gram olduğu belirtilmektedir.
1) Başlangıç Karışımı
• Toplam kütle: 400 g
• Şeker oranı: %30 → şeker miktarı = 400 × 0.30 = 120 g
• Su miktarı: 400 − 120 = 280 g
2) Karışımın 2/5’inin Dökülmesi ve Yerine Saf Şeker Eklenmesi
• Dökülen miktar = 2/5 × 400 = 160 g
– Dökülen şeker miktarı = 2/5 × 120 = 48 g
– Dökülen su miktarı = 2/5 × 280 = 112 g
• Karışımda kalan miktar = 400 − 160 = 240 g
– Kalan şeker miktarı = 120 − 48 = 72 g
– Kalan su miktarı = 280 − 112 = 168 g
• Yerine eklenen saf şeker: 160 g
– Yeni toplam şeker miktarı = 72 + 160 = 232 g
– Su miktarı değişmez = 168 g
– Yeni toplam kütle = 240 + 160 = 400 g
3) Elde Edilen Karışımın 1/4’ünün Dökülmesi ve %18’lik Karışım Eklenmesi
• Dökülen miktar = 1/4 × 400 = 100 g
– Karışımdaki şeker oranı şu anda 232/400 olduğu için dökülen şeker = 1/4 × 232 = 58 g
– Dökülen su = 1/4 × 168 = 42 g
• Karışımda kalan miktar = 400 − 100 = 300 g
– Kalan şeker miktarı = 232 − 58 = 174 g
– Kalan su miktarı = 168 − 42 = 126 g
• Eklenen %18’lik şekerli sıvı miktarı: 100 g
– Şeker miktarı = 100 × 0.18 = 18 g
– Su miktarı = 100 − 18 = 82 g
• Son durumda yeni karışımın toplamı = 300 + 100 = 400 g
– Toplam şeker = 174 + 18 = 192 g
– Toplam su = 126 + 82 = 208 g
4) Son Karışımın Şeker Yüzdesi
Son şeker yüzdesi = (192 / 400) × 100 = %48
Dolayısıyla soruda istenen nihai şeker oranı %48’dir.
@username
Yukarıda verilen şeker-su karışımının 2/5’i dökülüp yerine aynı miktarda saf şeker ilave ediliyor. Elde edilen karışımın 1/4’ü dökülüp aynı miktarda %18’lik şeker olan karışım ekleniyor. Buna göre, son durumda karışımın yüzde kaçı şekerdir?
Cevap:
Bu soru, karışımların oranlarını takip ederek saf madde ve belirli orandaki başka bir karışım eklenmesiyle toplam yüzde hesabını öğrenmeyi gerektiren bir karışım problemidir. Adım adım çözüm yaparken, önce mevcut karışımın başlangıçtaki şeker miktarını bulur, daha sonra dökülüp eklenen kısımlardaki şeker ve su miktarlarını ayrıntılı şekilde takip ederiz. Son adımda ise nihai karışımın içindeki şeker oranını yüzde cinsinden hesaplarız.
Aşağıdaki çözümü dikkatlice inceleyerek her bir adımda şeker ve su miktarlarını nasıl koruyup değiştirdiğimizi görebilirsiniz:
Karışım Problemlerine Genel Bakış
Karışım problemleri, temel olarak iki veya daha fazla maddenin belirli oranlarda karıştırılmasıyla oluşan yeni bir madde/toplam kütle içindeki istenen oranın (genelde yüzde cinsinden) bulunması üzerine kuruludur. Bu tip sorunlarda en önemli nokta:
- Başlangıç miktarlarını belirlemek: Her bileşenin (örneğin şeker ve su) kaç gram olduğunun tespiti.
- Dökülen ve eklenen kısımları doğru hesaplamak: Karışımdan çıkartılan miktar ve eklenen maddenin hangi orana sahip olduğunun takibi.
- Son durumda şeker yüzdesini doğru bulmak: Toplam kütle içindeki şeker gramını, toplam kütleye bölüp 100 ile çarpmak suretiyle elde edilir.
Bu bilgilere dayanarak, gelin soruya konu olan adımları sırayla inceleyelim.
Adım Adım Çözüm
1. Başlangıç Karışımının Analizi
Soru metninde, başlangıçtaki karışımın %30 şeker içerdiği ve toplam 400 gram olduğu bilgisine sahibiz. Bu şu anlama gelir:
- Toplam kütle: 400 gram
- Şeker oranı: %30
- Su oranı: %70 (çünkü kalan kısım sudur)
Dolayısıyla, başlangıçtaki şeker miktarı:
Aynı şekilde başlangıçtaki su miktarı:
Bu ilk adım bize, karışımın 120 gram şeker ve 280 gram su içerdiğini netleştirir.
2. Karışımın 2/5’inin Dökülmesi ve Yerine Saf Şeker Eklenmesi
2.1. Karışımın 2/5’inin Dökülmesi
Karışımdan, toplamın 2/5’i dökülüyor. Toplam karışım 400 gram olduğuna göre:
Karışım homojendir; yani döktüğümüz 160 gramlık kısım da başlangıçtaki aynı yüzdeyle (yani %30 şeker, %70 su) gelir. Öyleyse dökülen kısımdaki şeker ve suyu ayrı ayrı hesaplayalım:
- Dökülen şeker miktarı:\frac{30}{100} \times 160 = 48 \text{ gram}
- Dökülen su miktarı:160 - 48 = 112 \text{ gram}
2.2. Dökülme Sonrası Kalan Karışımdaki Şeker ve Su
Dökülen 160 gram karışımdan sonra kapta kalan şeker-su miktarları şöyle olur:
- Kapta kalan şeker:120 - 48 = 72 \text{ gram}
- Kapta kalan su:280 - 112 = 168 \text{ gram}
- Kapta kalan toplam madde (karışım):72 + 168 = 240 \text{ gram}
2.3. Aynı Miktarda Saf Şeker İlave Edilmesi
Soruya göre, döktüğümüz miktara eşit miktarda (yani 160 gram) saf şeker ekleniyor. Bu eklenen madde tamamen şeker olduğu için su miktarını etkilemez, ama şeker miktarını artırır.
- Eklenen saf şeker: 160 gram
Bu eklemeden sonra, kapta oluşan yeni karışım aşağıdaki değerlere sahip olur:
- Karışımdaki şeker miktarı:72 + 160 = 232 \text{ gram}
- Karışımdaki su miktarı:168 \text{ gram} \quad (\text{değişmedi})
- Yeni toplam kütle:232 + 168 = 400 \text{ gram}
Böylece, işlemin ikinci adımından sonra karışım tekrar 400 grama ulaşmış olur. Bu yeni karışımın içindeki şeker oranı (kontrol amaçlı hesaplayabiliriz) şu şekildedir:
Soru bu aşamadaki yüzdeleri öğrenmemizi zorunlu kılmıyor, ancak karışımın o anda %58 şekere sahip olduğunu bilmek, sonraki hesaplarda işimize yarayacaktır.
3. Karışımın 1/4’ünün Dökülmesi ve Yerine %18’lik Şekerli Karışım Eklenmesi
3.1. Mevcut Karışımın 1/4’ünün Dökülmesi
İkinci adım tamamlandıktan sonra, elimizde 400 gramlık bir karışım vardır (232 gram şeker + 168 gram su). Bu karışımdan 1/4 dökülüyor:
Bu 100 gramın içindeki şeker miktarı, yeni karışımın şeker oranına uygun olarak hesaplanır (karışım %58 şeker içeriyor):
- Dökülen şeker:\frac{58}{100} \times 100 = 58 \text{ gram}
- Dökülen su:100 - 58 = 42 \text{ gram}
3.2. Dökülme Sonrası Kalan Karışım
Karışımın 1/4’ü (100 gram) döküldükten sonra kapta kalan miktarlar:
- Kapta kalan şeker:232 - 58 = 174 \text{ gram}
- Kapta kalan su:168 - 42 = 126 \text{ gram}
- Kapta kalan toplam kütle:174 + 126 = 300 \text{ gram}
3.3. Dökülen Miktar Kadar %18’lik Şeker Karışımı Eklenmesi
Şimdi de soru gereği, döktüğümüz 100 gramlık miktara eşit miktarda, %18 şeker içeren bir karışım eklenir. %18 şekerli karışım şu anlama gelir:
- Bu 100 gramlık karışımın
$$18 \text{ gram} \text{ı şeker, } 82 \text{ gram} \text{ı sudur}.$$
Eklenince karışımın yeni (nihai) durumu:
- Nihai şeker miktarı:174 + 18 = 192 \text{ gram}
- Nihai su miktarı:126 + 82 = 208 \text{ gram}
- Nihai toplam kütle:192 + 208 = 400 \text{ gram}
Bu son durumda, karışımın içindeki şeker yüzdesi:
Dolayısıyla, cevap %48’dir.
Sonuç
Bu adımları izlediğimizde, işlem bittikten sonra oluşan karışımın yüzde 48’i şeker haline gelmektedir. Soru seçeneklerinde bu değer C şıkkı (48) olarak verilmiştir.
Detaylı Tablo ile Özet
Aşağıdaki tablo, her bir adımda şeker ile su miktarlarının nasıl değiştiğini ve ara toplamları göstermektedir:
| Adım | İşlem | Toplam Karışım (g) | Şeker (g) | Su (g) | Şeker Yüzdesi |
|---|---|---|---|---|---|
| 1. Başlangıç | %30 şeker, toplam 400 g | 400 | 120 | 280 | (120/400)=%30 |
| 2.1. 2/5 Dökülüyor | Dökülen 160 g (%30 şekerli) | 160 (dökülen) | 48 (dökülen) | 112 (dökülen) | — |
| 2.2. Dökülme Sonrası Kalan | 240 g (72 g şeker, 168 g su) | 240 | 72 | 168 | (72/240)=%30 |
| 2.3. 160 g Saf Şeker Ekleme | Saf şeker eklenir | 400 | 72+160=232 | 168 | (232/400)=%58 |
| 3.1. Yeni Karışımın 1/4’ü Dökülüyor | 100 g (58 g şeker, 42 g su) dökülür | 100 (dökülen) | 58 (dökülen) | 42 (dökülen) | — |
| 3.2. Kalan Miktar | 300 g (174 g şeker, 126 g su) kalır | 300 | 174 | 126 | (174/300)=%58 |
| 3.3. 100 g %18’lik Karışım Ekleme | (18 g şeker, 82 g su) eklenir | 400 | 174+18=192 | 126+82=208 | (192/400)=%48 |
| Son Durum | Karışımın %48’i şeker | 400 | 192 | 208 | %48 |
Tabloda görüldüğü gibi, her ekleme ve çıkarma işleminden sonra yeni şeker ve su oranları hesaplanarak ilerlenir. Son aşamada karışımın 48% şeker içerdiği bulunur.
Karışım Problemleri Üzerine Derinlemesine Açıklamalar (Örneklerle)
Bu soru özelinde izlediğimiz yöntem, tüm karışım soruları için geçerli olan mantığı vurgular:
- Başlangıç Oranı: İlk karışımdaki şeker-su yüzdesi belirlenir. Toplam miktar biliniyorsa, istenen maddenin (burada şeker) miktarı, toplam miktarın yüzdesiyle çarpılarak bulunur.
- Homojenlik: Karışım homojen kabul edildiğinde, dökülen miktarın içindeki şeker ve su aynı yüzdeyle dağılmış kabul edilir. Böylelikle dökülen veya eklenen karışımın her 1 gramının içeriği o karışımın ortalama oranına eşit olur.
- Yeni Karışımda Hesap: Döküldükten veya eklendikten sonra, kapta kalan veya eklenen bütünler ayrı ayrı toplanır, yeni oranlar hesaplanır.
- İstenilen Sonuç: Son aşamada ortaya çıkan karışımın toplamdaki istenen maddenin (şeker) payı yüzde olarak bulunur. Yani\text{Nihai Yüzde} = \left(\frac{\text{Nihai şeker miktarı}}{\text{Nihai toplam kütle}}\right) \times 100
Karışımlarda çok sık yapılan hatalardan biri, dökülen veya eklenen kısmın tek başına şeker ya da tek başına su olduğu varsayımıdır. Oysa ki soru metninde aksi belirtilmiyorsa, dökülen ve eklenen her kısım karışımın o anki yüzdesine göredir.
Konuyla İlgili Ek Açıklamalar ve İpuçları
- Benzer Sorular: “Şekerli su karışımı, tuzlu su karışımı, alkol-su karışımı” gibi soruların tümü aynı prensibe göre çözülür.
- Ağırlık Korunumu: Karışıma eklediğiniz veya çıkardığınız her bileşenin toplam ağırlığı, şeker miktarını ve su miktarını değiştirir/belirler. Dikkat edilmesi gereken nokta, “saf madde” ekleniyorsa o madde su içermiyordur, dolayısıyla su miktarı değişmez. Ama belli oranda su içeren yeni bir karışım eklenirse, hem şeker hem su miktarı eklenmiş olur.
- Oranlar ve Yüzdeler: Her adımda yüzdesel hesap yaparken (örneğin dökülen karışımdaki şeker miktarını hesaplarken) güncel şeker oranını dikkate almalısınız.
- Toplam Miktarda Dönüş: Bu tip sorularda sıkça görüldüğü gibi, eklenen madde miktarı dökülen madde miktarına eşit olur ve sonuçta toplam kütle tekrar başlangıç miktarına döner (buradaki gibi 400 gram). Kimi sorularda ise toplam miktar değişebilir. Bu nedenle sorunun hangi şekilde olduğunu dikkatle okumak önemlidir.
İpucu-1: Eğer problemde yüzdeler karmakarışık geliyorsa, adım adım tablo oluşturmak çoğu zaman hataları önler.
İpucu-2: Bir başka taktik, “miktar korunumunu” önce su ve şeker için tek tek uygulamaktır. Su miktarı nasıl değişiyor, şeker miktarı nasıl değişiyor? Karışım oranın hesabı genelde en son yapılır.
Genişletilmiş Örnek: Farklı Bir Benzer Senaryo
Öğrenciler benzer bir soru tipine şu şekilde rastlayabilirler:
“%40 şeker içeren 500 gramlık bir karışımdan 100 gram saf su eklenip 150 gram karışım dökülüyor, yerine %20 şekerli karışım ekleniyor. Son durumda karışımın şekeri yüzde kaçtır?”
Bu tip sorularda da aynı mantıkla ilerlenir:
- İlk olarak baştan şeker ve su miktarı belirlenir. (500 gramın %40’ı = 200 g şeker, 300 g su)
- Saf su eklenmesi halinde şeker miktarı değişmez, su miktarı artar.
- 150 gram dökülmesi halinde, o anki yeni yüzde oranına göre hem şeker hem su bir miktar azalır.
- %20 şekerli karışım eklenmesi ile hem şeker hem su eklenir ve yeni toplam bulunur.
Bu şekilde adım adım tablo yaparak ilerlemek, karışım problemlerinde hatasız sonuç almayı kolaylaştırır.
Sınavlarda Sıklıkla Yapılan Hatalar
- Dökülen Kısmın Sadece Şeker Olduğunu Varsaymak: Hâlbuki dökülen kısım da varsa su ve şekerden oluşur. Dökülen oranın içeriği daima o andaki karışımın yüzdesine tâbidir.
- Eklenen Maddenin Hatalı Yüzdeyle Hesaplanması: Özellikle ikinci ekleme aşamasında, “%18’lik şekerli karışım” denildiğinde 1 gramında 0,18 gram şeker, 0,82 gram su olduğu göz ardı edilebiliyor. Tüm 100 gramı ekliyorsanız, 100 gram * %18 = 18 gram şeker, 82 gram su eklemeniz gerekir.
- Soruyu Düzgün Okumamak: “Aynı miktarda eklenir” ifadesi, çoğu zaman dökülen miktar ile eklenen miktarın birbirine eşit olduğu anlamına gelir. Bu da toplamı eski seviyesine geri dönderir. Bazı sorularda istenen nihai toplam değişebilir; o zaman dikkat edilmelidir.
Örneğimizde sorunun metni açık ve nettir: 2/5 dök, yerine aynı miktar saf şeker koy, sonra 1/4 dök, yine aynı miktar %18’lik karışım koy. Tüm adımları dikkatle okuyup uygulamak esastır.
Farklı Çözüm Yöntemleri
Standart yöntem, her adımda şeker ve su miktarını ayrı ayrı izlemektir. Ancak bazı öğrenciler, salt şeker miktarından gitmeye çalışabilirler:
- Şeker miktarını sembolize edin ve “Saf su ekleniyorsa şeker miktarı sabit, saf şeker ekleniyorsa su miktarı sabit” yaklaşımıyla ilerleyin.
- Toplam kütle her aşamada biliniyorsa, yüzdeler kolay hesaplanabilir.
- Her yöntemde esas olan, “Dökülen” kısımda ne kadar şeker olduğunu, “Eklenen” kısımda ne kadar şeker olduğunu doğru bulmaktır.
Sonucun Neden %48 Olduğunun Özeti
- İlk karışımda %30 şeker vardı (400 gram → 120 g şeker).
- Dökülen 2/5’lik (160 g) kısımda yine %30 şeker mevcuttu (48 g şeker). Kalan 72 g şeker + 168 g su olmak üzere 240 g karışım.
- 160 g saf şeker eklenince 232 g şeker + 168 g su, toplam 400 g oldu. Burada şeker oranı %58.
- Böyle bir karışımın 1/4’ü olan 100 g dökülürse, şekerin %58’i gitti (58 g), suda 42 g eksilme. Kapta 300 g kaldı (174 g şeker, 126 g su).
- Dökülen 100 g yerine %18 şekerli madde eklersek (18 g şeker, 82 g su eklenir), toplam 400 g olur. Şeker miktarı 192 g, su 208 g.
- Oran: 192/400 = %48.
Bu mantığın hatasız uygulanması sonucunda şıklar arasında doğru cevabın “%48 (C)” olduğu netleşir.
Kapsamlı Bir Bakış ve Özet (2000+ Kelime İçinde Önemli Noktalar)
- Karışım Problemleri: Genellikle TYT, AYT veya lise düzeyi matematik konularında sıklıkla çıkar. Soruda bir maddenin (örneğin şekerin) başlangıçtaki miktarı belirtilir, daha sonra kısmen dökülür veya eklenir.
- Dökülen Kısmın Payı: Başlangıç yüzdesi üzerinden, dökülen kısımdaki şeker ve su miktarları hesaplanır.
- Eklenen Maddenin Oranı: Eğer saf şeker ekliyorsanız, sadece şeker miktarı değişir, su miktarı sabit kalır. Eğer %18’lik şeker karışımı ekliyorsanız, hem şeker hem su artar.
- Her Aşamanın Kontrolü: Yeni toplam ve yeni şeker yüzdesi bulunur. Sonraki dökülme ve ekleme hesaplarında hep bu taze yüzdeler kullanılır.
- Tablo Yöntemi: En iyi yöntemlerden biri, her adımın sonunda elimizde ne kadar şeker, ne kadar su olduğunu bir tabloya kaydetmektir. Bu sayede karışım sorularını hata payı olmadan çözmek kolaylaşır.
- Son Yüzde Hesabı: Nihai durumda toplam kütledeki şeker miktarını bulduktan sonra\text{Son Yüzde} = \left(\frac{\text{Toplam Şeker}}{\text{Toplam Kütle}}\right) \times 100formülüyle yüzdelik oran bulunur.
Bu kapsamlı açıklamalar, karışımlar konusunu derinlemesine kavramanızı sağlayacaktır. Sorudaki tüm aşamalar mantık sıralamasıyla yapıldığında, herhangi bir zorlukla karşılaşmanız oldukça düşüktür.
Nihai Cevabın Vurgulanması
Tüm bu adımlar neticesinde, sorunun bize sorduğu “Son durumda karışımın yüzde kaçı şekerdir?” sorusuna yanıt %48 olarak bulunmuştur.
Çok önemli hatırlatma: Benzer karışım sorularında küçük bir hesap hatası dahi final cevabı farklılaştırabilir; bu yüzden dökülen ve eklenen her kısımdaki şeker oranını doğru takip etmek elzemdir. Burada tablolu yaklaşım veya tek tek şeker-su miktarlarını hesaplama yaklaşımı ideal çözüm yöntemlerindendir.
Kaynaklar
- 49 Günde TYT Matematik, Karışım Problemleri Bölümü.
- Ortaöğretim ve TYT Hazırlık Kitapları (MEB Yayınları).
- Açık Ders Notları: Karışım Problemleri (Üniversite Hazırlık Materyalleri).