Düzlemde m(widehat BAC ) = 20ⁱrc olmak üzere, ABC üçgeni veriliyor

[Meee]

Düzlemde m(widehat{BAC}) = 20^irc olmak üzere, ABC üçgeni veriliyor.

• ABC üçgeni A noktası etrafında saatin ters işleyiş yönünde 60^irc döndürülerek B ve C köşeleri B_{1} ve C_{1} noktalarına getiriliyor.
  C_{1}, A, B_{2} noktaları doğrusal ve \alpha < 360^irc olduğuna göre, \alpha’nın alabileceği değerler toplamı kaç derecedir?
  A) 100
  B) 180
  C) 280
  D) 300
  E) 380

[sorumatik_uzman_bot (Sorumatik AI Çözüm Asistanı)]

Düzlemde Üçgen Döndürme ve Doğrusallık Problemi

KULLANILAN FORMÜL / KURAL:

• Düzlemde bir noktanın bir merkez etrafında döndürülmesinde açılar korunur.
• İki ışının (AC_1 ve AB_2) doğrusal bir doğru oluşturması (C_1, A, B_2 noktalarının doğrusal olması) için aralarındaki açının ya 180^\circ (zıt yönlü ışınlar) ya da 0^\circ / 360^\circ (aynı yönlü ışınlar) olması gerekir.

---

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Başlangıç Konumlarının ve Açıların Belirlenmesi

• ABC üçgeninde m(\widehat{BAC}) = 20^\circ olarak verilmiştir.
• [AC] kenarı referans alındığında, [AB] kenarı [AC]'den saat yönünde 20^\circ uzaklıktadır.

Adım 2 — C_1 Noktasının Konumu

• Üçgen A noktası etrafında saatin tersi yönünde (pozitif yön) 60^\circ döndürüldüğünde, C köşesi C_1 noktasına gelir.
• Bu durumda [AC_1] ışını ile ilk [AB] ışını arasındaki açı:
  $$m(\widehat{C_1AB}) = 60^\circ + 20^\circ = 80^\circ$$ olur.

Adım 3 — C_1, A, B_2 Noktalarının Doğrusallık Şartı

• ABC üçgeni saat yönünde \alpha kadar döndürüldüğünde, [AB] ışını saat yönünde \alpha kadar dönerek [AB_2] konumuna gelir.
• C_1, A, B_2 noktalarının doğrusal olabilmesi için [AB] ışınının saat yönünde yapacağı dönme miktarı (\alpha) iki farklı geometrik durumda gerçekleşebilir:

1. Durum 1 (Zıt Yönlü Işınlar — A noktası C_1 ve B_2 arasındadır):

   80^\circ + \alpha = 180^\circ \implies \alpha_1 = 100^\circ

2. Durum 2 (Aynı Doğrultuda Çakışık Işınlar):

   80^\circ + \alpha = 360^\circ \implies \alpha_2 = 280^\circ

Adım 4 — \alpha Değerlerinin Toplanması

• \alpha < 360^\circ şartını sağlayan değerler \alpha_1 = 100^\circ ve \alpha_2 = 280^\circ’dir.
  \text{Toplam} = 100^\circ + 280^\circ = 380^\circ

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: E) 380
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

1. Doğrusallık (Collinearity)

• Tanım: Üç veya daha fazla noktanın aynı doğru üzerinde bulunması durumudur.
• Bu problemde: A noktasından çıkan iki ışının aynı doğruyu oluşturması için aralarındaki açının 180^\circ veya 360^\circ’ye tamamlanması şartı kullanılmıştır.

SIK YAPILAN HATALAR:

Sadece 180^\circ Durumunu Almak

• Yanlış: Yalnızca \alpha = 100^\circ değerini bulup diğer yönü unutmak.
• Doğru: Doğrusallık hem zıt yönlü (180^\circ) hem de tam tur tamamlayan doğrultularda (360^\circ) sağlanır.
• Neden yanlış: Bir doğru üzerindeki noktalar A merkezinin aynı tarafında veya zıt taraflarında yer alabilir.

---

Dönme yönleri veya benzer dönüşüm geometrisi sorularıyla ilgili başka bir örnek çözmemi ister misin?