Yatay düzlemde yarıçapı 2m olan bir çember üzerinde dönen 3kg kütleli cisme etki eden merkezcil kuvvet 24 Newton olduğuna göre cismin,
A) merkezcil ivmesi kaç m/s^2 dir?
B) çizgisel hızı kaç m/s dir?
C) açısal hızı kaç rad/s dir?
D) periyodu kaç s’dir?
Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin hızı 6m/s ve merkezcil ivmesi 12m/s^2 olduğuna göre,
A) Dairesel hareketin yarıçapı kaç m’dir?
B) Açısal hız kaç rad/s’dir?
C) Cismin periyodu kaç s’dir?
D) Cismin kütlesi 5kg \( ise \1 cisme etki eden merkezcil kuvvet kaç Newton’dur? (\pi = 3))
Kütlesi 500g olan şekildeki K cismi r = 1m yarıçaplı yörüngede saniyede 4 devir yapacak şekilde dönmektedir.
X kasnağı şekildeki gibi ok yönünde dönerek ilerlemektedir. Buna göre, K, L, M noktalarının hızları arasındaki ilişki nasıldır?
B) K, L, M, O noktalarının dönme hızları arasındaki büyüklük ilişkisi nasıl olur?
Düzgün Çembersel Hareket ve Dönerek Öteleme Hareketi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Düzgün çembersel harekette merkezcil kuvvet F_{\text{mer}} = m \cdot a_{\text{mer}} = \frac{m \cdot v^2}{r} = m \cdot \omega^2 \cdot r, çizgisel hız ile açısal hız arasındaki ilişki v = \omega \cdot r ve periyot bağıntısı \omega = \frac{2\pi}{T} formülleriyle hesaplanır. Dönerek öteleme hareketinde ise ötelenme hızı tüm noktalarda eşit iken, dönme hızı merkeze olan uzaklıkla doğru orantılıdır (v_{\text{dönme}} = \omega \cdot r).
ÇÖZÜM ADIMLARI
1. Soru Çözümü
Verilenler: Yarıçap r = 2\text{ m}, kütle m = 3\text{ kg}, merkezcil kuvvet F_{\text{mer}} = 24\text{ N}, \pi = 3.
-
a) Merkezcil İvme (a_{\text{mer}}):
F_{\text{mer}} = m \cdot a_{\text{mer}} \implies 24 = 3 \cdot a_{\text{mer}} \implies a_{\text{mer}} = 8\text{ m/s}^2 -
b) Çizgisel Hız (v):
a_{\text{mer}} = \frac{v^2}{r} \implies 8 = \frac{v^2}{2} \implies v^2 = 16 \implies v = 4\text{ m/s} -
c) Açısal Hız (\omega):
v = \omega \cdot r \implies 4 = \omega \cdot 2 \implies \omega = 2\text{ rad/s} -
d) Periyot (T):
\omega = \frac{2\pi}{T} \implies 2 = \frac{2 \cdot 3}{T} \implies 2T = 6 \implies T = 3\text{ s}
2. Soru Çözümü
Verilenler: Hız v = 6\text{ m/s}, ivme a_{\text{mer}} = 12\text{ m/s}^2, \pi = 3.
-
a) Yörünge Yarıçapı (r):
a_{\text{mer}} = \frac{v^2}{r} \implies 12 = \frac{6^2}{r} = \frac{36}{r} \implies r = 3\text{ m} -
b) Açısal Hız (\omega):
v = \omega \cdot r \implies 6 = \omega \cdot 3 \implies \omega = 2\text{ rad/s} -
c) Periyot (T):
T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2 \cdot 3}{2} = 3\text{ s} -
d) Merkezcil Kuvvet (F_{\text{mer}}) (m = 5\text{ kg} için):
F_{\text{mer}} = m \cdot a_{\text{mer}} = 5 \cdot 12 = 60\text{ N}
4. Soru Çözümü (Dönerek İlerleyen Tekerlek)
-
a) Öteleme Hızları: Cisim üzerindeki bütün noktalar kütle merkeziyle birlikte aynı yönde ve aynı hızla öteleme hareketi yapar:
v_{\text{öt}, K} = v_{\text{öt}, L} = v_{\text{öt}, M} = v_{\text{öt}, O} -
b) Dönme Hızları: Dönme hızı merkeze olan uzaklığa bağlıdır (v_{\text{d}} = \omega \cdot r). K, L, M noktaları çember üzerinde (r uzaklıkta), O noktası ise merkezde (r = 0) yer alır:
v_{\text{d}, K} = v_{\text{d}, L} = v_{\text{d}, M} > v_{\text{d}, O} \quad (v_{\text{d}, O} = 0) -
c) Yere Göre Anlık (Bileşke) Çizgisel Hızlar: Hız vektörlerinin toplamı alınır (\vec{v} = \vec{v}_{\text{öt}} + \vec{v}_{\text{d}}):
- K noktası (en üst): Dönme ve öteleme aynı yönlüdür \rightarrow v + v = 2v
- L noktası (yan): Dönme aşağı, öteleme sağa doğrudur \rightarrow \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}
- O noktası (merkez): Sadece öteleme vardır \rightarrow v
- M noktası (temas noktası / en alt): Dönme ve öteleme zıt yönlüdür \rightarrow v - v = 0
v_K > v_L > v_O > v_M
5. Soru Çözümü (X Kasnağı)
K, L, M noktaları aynı düşey eksende merkeze farklı uzaklıklardadır (r_K > r_L > r_M).
- Yere göre anlık hız, temas noktasına olan geometrik uzaklıkla doğru orantılıdır. Temas noktasına en uzak olan K en hızlı, en yakın olan M en yavaştır:v_K > v_L > v_M
CEVAP:
- 1. Soru: a) 8\text{ m/s}^2, b) 4\text{ m/s}, c) 2\text{ rad/s}, d) 3\text{ s}
- 2. Soru: a) 3\text{ m}, b) 2\text{ rad/s}, c) 3\text{ s}, d) 60\text{ N}
- 4. Soru: a) K = L = M = O, b) K = L = M > O, c) K > L > O > M
- 5. Soru: v_K > v_L > v_M
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dönerek kaymadan ilerleyen tekerleklerde yere temas eden anlık temas noktasının yere göre bileşke hızı her zaman sıfırdır (v_{\text{temas}} = 0). Tepe noktasının hızı ise kütle merkezinin (öteleme hızının) tam 2 katıdır (2v).