Şekilde sarı renkle gösterilen açının ölçüsü 264^irc olduğuna göre bu düzgün çokgenin çevresi kaç birimdir?
A) 28
B) 30
C) 32
D) 34
E) 36
38. n kenarlı bir düzgün çokgenin bir dış açısı
\frac{360^irc}{n}
olarak hesaplanır.
Bir kenarı 2 birim olan ABCDEF… düzgün çokgeninin iç bölgesinde alınan bir K noktası A, B, C, D ve E köşeleri ile birleştirildiğinde oluşan ABK, BCK, CDK ve DEK üçgenlerinin alanları sırasıyla IAKI, IBKI, ICKI ve IDKI birimkare oluyor.
ÇAP-TYT-0/TEM
Düzgün Çokgende Çevre Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Sinüs Alan Teoremi: Bir üçgende iki kenar ve aralarındaki açı biliniyorsa; \text{Alan} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot \sin(\alpha)
- Düzgün Çokgenin Dış Açısı (\theta): \theta = 180^\circ - \alpha = \frac{360^\circ}{n} (burada \alpha bir iç açıdır)
- Çokgenin Çevresi: \text{Çevre} = n \cdot a
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Üçgenlerin Açılarını Belirleme
Çokgenin bir kenar uzunluğu a = 2 birim ve iç açısı \alpha olsun. Verilen alan eşitliklerini sinüs alan bağıntısı ile yazalım:
Alan(ABK) = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot |AK| \cdot \sin(\angle BAK) = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot |AK| \cdot \sin(\angle BAK) = |AK| \cdot \sin(\angle BAK)
Soruda Alan(ABK) = |AK| verildiğinden:
|AK| \cdot \sin(\angle BAK) = |AK| \implies \sin(\angle BAK) = 1 \implies m(\angle BAK) = 90^\circ
Aynı kural diğer üçgenler için de geçerlidir:
- Alan(BCK) = |BK| \implies m(\angle KBC) = 90^\circ
- Alan(CDK) = |CK| \implies m(\angle KCD) = 90^\circ
- Alan(DEK) = |DK| \implies m(\angle KDE) = 90^\circ
Adım 2 — K Köşesindeki Açıların Hesaplanması
Çokgenin bir iç açısı \alpha olduğundan, ardışık köşelerdeki açı paylaşımlarını bulalım:
- B köşesinde: m(\angle ABC) = \alpha ve m(\angle KBC) = 90^\circ olduğundan, m(\angle ABK) = \alpha - 90^\circ olur.
- ABK dik üçgeninin iç açıları toplamından:m(\angle AKB) = 180^\circ - (90^\circ + \alpha - 90^\circ) = 180^\circ - \alpha
- Düzgün çokgende bir dış açı \theta = 180^\circ - \alpha olduğundan:m(\angle AKB) = \theta
Aynı mantık BCK, CDK ve DEK üçgenleri için de geçerlidir:
m(\angle BKC) = \theta, \quad m(\angle CKD) = \theta, \quad m(\angle DKE) = \theta
Adım 3 — Dış Açıyı ve Kenar Sayısını (n) Bulma
Sarı boyalı refleks açı 264^\circ olarak verilmiştir. K noktası etrafındaki tam açı 360^\circ olduğundan:
m(\angle AKE) = 360^\circ - 264^\circ = 96^\circ
\angle AKE açısı bu dört tepe açısının toplamına eşittir:
m(\angle AKE) = m(\angle AKB) + m(\angle BKC) + m(\angle CKD) + m(\angle DKE)
4\theta = 96^\circ \implies \theta = 24^\circ
Çokgenin kenar sayısı (n):
n = \frac{360^\circ}{\theta} = \frac{360^\circ}{24^\circ} = 15
Adım 4 — Çevreyi Hesaplama
Bir kenar uzunluğu 2\text{ birim} olan 15 kenarlı düzgün çokgenin çevresi:
\text{Çevre} = n \cdot 2 = 15 \cdot 2 = 30\text{ birim}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 30
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Sinüs Alan Bağıntısı: Bir üçgenin dik üçgen olduğunu, kenar ile alan arasındaki katsayı ilişkisinden (\sin 90^\circ = 1) doğrudan tespit etmemizi sağlar.
- Dış Açı Özelliği: Bir düzgün çokgende iç açı ile dış açının toplamı daima 180^\circ’dir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Sarı açıyı doğrudan içteki açıların toplamı sanıp 4\theta = 264^\circ olarak eşitlemek.- Doğru Yaklaşım: Sarı yayın K noktasının dış bölgesini taradığını fark edip 360^\circ - 264^\circ = 96^\circ ile içteki tepe açılarını bulmak.
Benzer bir çokgen ve alan ilişkisi sorusuyla pratik yapmak ister misin?