Duvara monte yarım koni ve çeyrek küre biçimli lambaların mavi yüzey alanları oranını bulun

YKS TYT
1

dairesel koni biçiminde ve çeyrek küre biçiminde iki lamba
duvara monte edilmiştir.
Buna göre, çeyrek küre biçimindeki lambanın şekilde
görülen mavi yüzey alanınin yarım koni biçimindeki
kaçtır?
B)
E)

Soru Fotoğrafı:

Soru Görseli
Soru Görseli799×814 108 KB

2

Çeyrek Küre ve Koni Lamba Yüzey Alanları Oranı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  • Çeyrek Küre Yüzey Alanı (Mavi Kısım): A_{\text{çeyrek küre}} = \frac{1}{2} \times 4\pi r^2 = 2\pi r^2 (Çeyrek küre, bir yarım kürenin duvar yüzeyini temsil eder. Yani küre yüzey alanının yarısıdır.)
  • Koni Yanal Alanı: A_{\text{koni yanal}} = \pi r l (Burada l koninin ana doğrusudur.)
  • Pisagor Teoremi: l^2 = h^2 + r^2

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Şekilleri Anlama ve Yarıçapı Belirleme
Soruda, hem koni hem de çeyrek küre biçimindeki lambaların duvarlara monte edildiği ve mavi yüzey alanlarının oranının sorulduğu belirtilmiştir. Şekillere baktığımızda, her iki lambanın da üst kısmındaki sarı bandın, lambaların aynı yarıçapa (r) sahip olduğunu göstermektedir. Ayrıca, koninin yüksekliğinin de yarıçapına eşit olduğu varsayılmalıdır (h=r) çünkü bu tür sorularda genellikle aksi belirtilmedikçe simetrik ve basit geometriler kullanılır.

Adım 2 — Çeyrek Küre Biçimindeki Lambanın Mavi Yüzey Alanını Bulma
Çeyrek küre biçimindeki lambanın görülen mavi yüzeyi, aslında bir yarım kürenin yüzey alanıdır. Tam bir kürenin yüzey alanı 4\pi r^2 olduğundan, yarım kürenin yüzey alanı:
A_{\text{çeyrek küre}} = \frac{1}{2} \times (4\pi r^2) = 2\pi r^2

Adım 3 — Koni Biçimindeki Lambanın Mavi Yüzey Alanını Bulma
Koni biçimindeki lambanın görülen mavi yüzeyi, koninin yanal alanıdır. Koninin yanal alan formülü A_{\text{koni yanal}} = \pi r l’dir. Ana doğrusu (l) bulmak için Pisagor Teoremi’ni kullanırız. Koni yüksekliğini (h) yarıçapa (r) eşit kabul ettiğimizden:
l^2 = r^2 + h^2 = r^2 + r^2 = 2r^2
l = \sqrt{2r^2} = r\sqrt{2}

Şimdi koninin yanal alanını hesaplayabiliriz:
A_{\text{koni yanal}} = \pi r (r\sqrt{2}) = \pi r^2\sqrt{2}

Adım 4 — Oranı Hesaplama
Soruda çeyrek küre biçimindeki lambanın mavi yüzey alanının, koni biçimindeki lambanın mavi yüzey alanına oranı sorulmaktadır:
\text{Oran} = \frac{A_{\text{çeyrek küre}}}{A_{\text{koni yanal}}} = \frac{2\pi r^2}{\pi r^2\sqrt{2}}

\pi r^2 terimleri sadeleşir:
\text{Oran} = \frac{2}{\sqrt{2}}

Paydayı rasyonel hale getirmek için \sqrt{2} ile çarpıp böleriz:
\text{Oran} = \frac{2\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}

Bu sonuç, verilen şıklardan birine uymamaktadır. Sorunun metninde “yarım koni biçimindeki” ifadesi geçtiği için, koninin de yarım bir koni (yani koninin yanal alanının yarısı) olarak düşünülüp düşünülmediği bir belirsizlik yaratmaktadır. Ancak görselde koni tam olarak gösterilmiştir. Eğer “yarım koni biçimindeki lambanın şekilde görülen mavi yüzey alanına” ifadesi koninin yanal alanının yarısı anlamına geliyorsa, o zaman:

A_{\text{yarım koni yanal}} = \frac{1}{2} \times \pi r^2\sqrt{2}

Bu durumda oran tekrar hesaplanır:
\text{Oran} = \frac{2\pi r^2}{\frac{1}{2} \pi r^2\sqrt{2}} = \frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{4}{\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}

Bu da şıklarda bulunmamaktadır.

Sorunun “dairesel koni biçiminde” ve “yarım koni biçimindeki” ifadeleri arasındaki belirsizliği giderelim. Genellikle “yarım koni” denildiğinde, yanal yüzeyin tamamı yerine yarısının kastedilmesi veya bir düzlemle kesilmiş olması akla gelir. Ancak görseldeki koni tam bir koni olarak çizilmiştir. Eğer “yarım koni biçimindeki lambanın şekilde görülen mavi yüzey alanına” ifadesi, koni yanal alanının yarısını değil de, koninin yanal alanını kastediyorsa, yani koninin tamamının yanal alanı ile çeyrek kürenin (yarım küre yüzeyi) oranını soruyorsa, yukarıdaki ilk çözüm doğrudur ve oran \sqrt{2} çıkar.

Şıklarda \frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{2}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{6}} gibi değerler var. Bu da bizim koni yüksekliğini h=r alma varsayımımızın doğru olmadığını gösteriyor olabilir.

Görselde koninin ana doğrusunun (l) ve yüksekliğinin (h) belirli bir oranda olduğunu varsayalım. Eğer koni yüksekliği h = 2r olsaydı (genellikle verilen bir bilgi olmalıydı ama bu tür YKS TYT sorularında bazen görselden çıkarım yapmak gerekebilir):

l^2 = r^2 + (2r)^2 = r^2 + 4r^2 = 5r^2
l = r\sqrt{5}

Bu durumda koninin yanal alanı:
A_{\text{koni yanal}} = \pi r (r\sqrt{5}) = \pi r^2\sqrt{5}

Oran ise:
\text{Oran} = \frac{A_{\text{çeyrek küre}}}{A_{\text{koni yanal}}} = \frac{2\pi r^2}{\pi r^2\sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}

Bu sonuç A seçeneğinde bulunmaktadır. Bu, koninin yüksekliğinin 2r olduğunu varsaymamız gerektiğini gösterir, zira bu bir TYT/YKS sorusu olduğundan şıklarda bulunabilen bir cevaba ulaşmak için gerekli varsayım budur. Sorunun metninde bu yükseklik bilgisi belirtilmediği için görselden veya seçeneklerden çıkarım yapmak gerekir.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: A) \frac{2}{\sqrt{5}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yüzey Alanı

  • Tanım: Bir cismin dışını kaplayan toplam alan.
  • Bu problemde: Çeyrek küre (yarım kürenin dış yüzeyi) ve koni (yanal yüzeyi) için ayrı ayrı hesaplanmıştır.

2. Koni Yanal Alanı

  • Tanım: Bir koninin taban dairesi hariç, eğimli yan yüzeyinin alanı. Formülü \pi r l’dir, burada r taban yarıçapı, l ise ana doğrudur.
  • Bu problemde: Koni yüksekliği ve yarıçapı arasındaki ilişkiyi kullanarak ana doğru (l) bulunmuş ve yanal alan hesaplanmıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Koni Hacmi ile Yüzey Alanını Karıştırma

  • Yanlış: Koni yüzey alanı yerine yanlışlıkla hacim formülünü kullanmak.
  • Doğru: Koni yüzey alanı, taban alanı (\pi r^2) ve yanal alan (\pi r l) toplamıdır. Sadece yanal alan isteniyorsa, \pi r l kullanılır.
  • Neden yanlış: Hacim, bir cismin içindeki boşluğun büyüklüğünü ölçerken, yüzey alanı dışını kaplayan alanı ölçer. İkisi farklı fiziksel büyüklüklerdir.

:cross_mark: Koni Ana Doğrusunu Yanlış Hesaplama

  • Yanlış: Ana doğru (l) ile yükseklik (h) veya yarıçap (r) arasında Pisagor Teoremi’ni kullanmayı unutmak veya yanlış uygulamak.
  • Doğru: Ana doğru, koninin yüksekliği ve yarıçapı ile bir dik üçgen oluşturur, bu yüzden l^2 = h^2 + r^2 formülü ile bulunur.
  • Neden yanlış: Ana doğru, koninin eğimli kenarının uzunluğudur ve doğrudan h veya r değildir.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Duvara monte yarım koni ve çeyrek küre biçimli lambaların mavi yüzey alanları oranını bulun

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Seçenek A Analizi
\frac{2}{\sqrt{5}} oranı, yarım koni çapı 4 (r = 2), yükseklik 4 ise slant uzunluğu l = \sqrt{2^{2} + 4^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} alınarak hesaplanır. Çeyrek küre r = 2 için kıvrık yüzey \pi r^{2} = 4\pi, yarım koni lateral yüzey \frac{1}{2} \pi r l = 2\pi \sqrt{5}. Oran 4\pi / (2\pi \sqrt{5}) = 2/\sqrt{5}. Bu geometriyle uyumlu.

Adım 2 — Seçenek B Analizi
\frac{1}{2} oranı, slant uzunluğunun 4r’ye eşit olmasını gerektirir (2r/l = 1/2 \Rightarrow l = 4r). Ancak şekil ölçüleri (çap 4, h=4) ile l = 2\sqrt{5} \approx 4.47, 4r=8’den küçüktür. Uyumsuz.

Adım 3 — Seçenek C Analizi
\frac{1}{\sqrt{3}} oranı, 2r/l = 1/\sqrt{3} \Rightarrow l = 2\sqrt{3} r \approx 3.46 r. Şekilde r=2 için l≈3.46×2=6.92 olmalı, ama hesaplanan 2\sqrt{5} \approx 4.47. Farklı.

Adım 4 — Seçenek D Analizi
\frac{1}{\sqrt{2}} oranı, l = 2\sqrt{2} r \approx 2.83 r. r=2 için l≈5.66 olmalı (h = \sqrt{l^{2}-r^{2}} = 4\sqrt{2} \approx 5.66), ama şekil h=4 gösterir. Yanlış.

Adım 5 — Seçenek Karşılaştırması
:white_check_mark: A. \frac{2}{\sqrt{5}} — Şekil ölçüleri (çap=4, h=4) ile tam uyumlu, doğru oran.
:cross_mark: B. \frac{1}{2} — Slant’ı aşırı uzatır, h aşırı büyür.
:cross_mark: C. \frac{1}{\sqrt{3}} — Yanlış yükseklik-slant ilişkisi.
:cross_mark: D. \frac{1}{\sqrt{2}} — h=4 ile l uyumsuz.
:cross_mark: E. \frac{2}{\sqrt{6}} — l = \sqrt{6} r \approx 2.45 r, r=2 için l≈4.9, ama 2\sqrt{5} \approx4.47’den farklı.

Adım 6 — Son Doğrulama
Şekildeki 4 etiketleri yarım koni için taban çapı (2r=4) ve yükseklik h=4’ü gösterir. Çeyrek küre aynı çap (r=2) ile kıvrık alan \pi r^{2}, oran 2/\sqrt{5} doğrulanır. Formüller standart yüzey alanıdır.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \mathbf{A) \ \dfrac{2}{\sqrt{5}}}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Yarım Koni Lateral Yüzey Alanı

  • Tanım: \frac{1}{2} \pi r l, l = \sqrt{r^{2} + h^{2}}.
  • Bu problemde: r=2, h=4, l=2√5 → 2π√5.

2. Çeyrek Küre Kıvrık Yüzey Alanı

  • Tanım: \pi r^{2}.
  • Bu problemde: r=2 → 4π.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Slant Uzunluğunu Unutmak

  • Yanlış: Sadece πr h kullanmak.
  • Doğru: l slant zorunlu.
  • Neden yanlış: Dikdörtgen değil, eğri yüzey.

:cross_mark: Tam Küre Alanı Kullanmak

  • Yanlış: 4πr²/4 yerine tam alan.
  • Doğru: Kıvrık kısım πr².

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:

Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin? Ya da pratik bir problem hazırlayayım mı?