Düşey kesiti şekildeki gibi olan su cenderesinde X ve Y cisimleri şekildeki gibi dengededir. X cisminin bağlı olduğu çubuğun ve pistonların ağırlıkları ise önemsizdir.
S_{1} = 20 S_{2} olduğuna göre, X ve Y cisimlerinin ağırlıkları oranı \frac{G_{X}}{G_{Y}} kaçtır?
(Sürtünmeler önemsizdir.)
Pascal İlkesi ve Kaldıraç Dengesi ile Su Cenderesi Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sıvıların basıncı her doğrultuda aynen iletmesi kuralına dayanan Pascal İlkesi’ne göre aynı sıvı seviyesindeki basınçlar eşittir (P_1 = P_2). Kaldıraç sisteminde ise dönme noktasına (menteşeye) göre toplam tork sıfır olmalıdır (\sum \tau = 0).
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Kaldıraç Sisteminde Tork Dengesi
Kaldıraç çubuğunun sağ ucu sabit menteşe etrafında dönebilmektedir. Pistonun çubuğa uyguladığı tepki kuvveti F_1, X cisminin ağırlığı ise G_X’tir. Piston kolunun menteşeye uzaklığı a, X cisminin menteşeye toplam dik uzaklığı ise 3a + a = 4a kadardır. Menteşeye göre tork dengesi yazılırsa:
G_X \cdot 4a = F_1 \cdot a \implies F_1 = 4G_X
Etki-tepki prensibi gereği, çubuk da S_1 kesitli pistona aşağı yönde F_1 = 4G_X kadar bir kuvvet uygular.
Adım 2 — Su Cenderesinde Basınç Eşitliği
Pistonlar aynı yatay hizada dengede olduğundan, tabandaki sıvı basınçları birbirine eşittir. S_1 = 20S_2 ve Y cisminin piston üzerindeki kuvveti G_Y olduğuna göre:
\frac{F_1}{S_1} = \frac{G_Y}{S_2}
Bulunan F_1 = 4G_X değeri ve alan bağıntısı yerine yazılır:
\frac{4G_X}{20S_2} = \frac{G_Y}{S_2}
4G_X = 20G_Y \implies \frac{G_X}{G_Y} = \frac{20}{4} = 5
CEVAP: 5 \left(\dfrac{G_X}{G_Y} = 5\right)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Kaldıraç kollarında mesafeler alınırken X cisminin menteşeye olan toplam uzaklığının 3a değil, (3a + a) = 4a olduğuna dikkat edilmelidir. Desteğin en sağ uçta yer alması kuvvet kazancını doğrudan etkiler.
@Akademik_Rehber Ama o noktadan hareketle dememiş ki yani dönüp dönmediğini bilmiyoruz
Çok haklı ve yerinde bir soru. Bu durumun fiziksel ve mantıksal sebebi şu iki temel kurala dayanır:
1. Statik Denge Şartı (Herhangi bir noktaya göre tork sıfırdır):
Fizikte dengede olan bir çubuk için seçilen herhangi bir referans noktasına göre toplam tork sıfır olmak zorundadır (\sum \tau = 0). Cismin o an hareket etmesi ya da dönmesi gerekmez; aksine dönmediği (hareketsiz kaldığı) için tork dengesi kurulur.
2. Şekildeki Fiziksel Bağlantı:
- Şekle dikkatle baktığımızda çubuğun sağ ucu cenderenin iç duvarına montelidir (menteşelenmiştir).
- Eğer o sağ uç boşta olsaydı; sol taraftaki X ağırlığı çubuğu aşağı doğru çeker, çubuk pistonun üzerindeki dikme üzerinden sola doğru kayıp düşerdi (çünkü sağ tarafta X’i dengeleyecek hiçbir ağırlık yoktur).
- Çubuğun bu şekilde havada dengede kalabilmesi, sağ ucun duvara tutturulmuş (sabit bir destek noktası/menteşe) olmasıyla mümkündür.
Neden özellikle o noktaya göre tork aldık?
Çubuğun duvara bağlı olduğu sağ uçta, duvarın uyguladığı bilinmeyen bir tepki kuvveti vardır. Tork noktasını tam bu bağlantı noktası seçtiğimizde:
- Duvarın uyguladığı bilinmeyen kuvvetin dönme noktasına uzaklığı sıfır olur ve torku yok olur.
- Böylece denklemde yalnızca bilinen G_X ağırlığı ile S_1 pistonuna etki eden F_1 kuvveti kalır:
G_X \cdot 4a = F_1 \cdot a \implies F_1 = 4G_X
Özetle; çubuğun dönmesine gerek yoktur, dengede kalan tüm katı cisimlerde bilinmeyen kuvvetleri elemek için menteşe/destek noktasına göre tork alınır.
@Akademik_Rehber menteşe dediğin neresi yani nereye göre tork aldık o kısmı daha detaylı anlatır mısın
Görseli büyüterek çubuğun üzerindeki 3 kritik noktayı tek tek inceleyelim:
1. Çubuk Üzerindeki 3 Kritik Nokta
- En Sol Uç (X cisminin asılı olduğu yer): X cismi ip yardımıyla çubuğun sol ucuna bağlıdır ve çubuğu aşağı yönde G_X kuvvetiyle çeker.
- Orta Kısım (Pistonun dikey çubuğunun bastığı yer): S_1 pistonunun üzerindeki dikme, çubuğun altına temas eder. Piston çubuğu yukarı yönde F_1 tepki kuvvetiyle iter (etki-tepki gereği çubuk da pistonu aşağı iter). Bu noktanın sağ uca uzaklığı görselde a olarak verilmiştir.
- En Sağ Uç (Tork Aldığımız Nokta / Menteşe): Çubuğun sağ ucunun cenderenin sağ iç duvarına değdiği sivri köşe noktasıdır. Görselde a uzunluğunu gösteren okun bittiği tam o köşe noktasıdır.
2. Neden “Menteşe / Destek” Olarak En Sağ Ucu Seçtik?
Soruda “menteşe” kelimesi geçmese bile sistemin fiziksel yapısından dolayı o nokta bir dönme noktası (mesnet/destek) görevi görür:
- Görsel İpucu: a mesafesi, pistonun dikmesinden başlayıp tam olarak çubuğun duvara dayandığı en sağ uca kadar çizilmiştir. Bu çizim, soruyu hazırlayanın o sağ ucu referans (dönme/destek) noktası kabul ettiğini gösterir.
- Kaldıraç Mantığı: Bu sistem, gündelik hayattaki ceviz kıracağına veya el arabasına benzer (desteğin uçta, yükün ortada, kuvvetin diğer uçta olduğu kaldıraç türü):
- Destek (Dönme noktası): En sağ uç (duvar kenarı)
- Yük: Ortada pistonun yaptığı direnç (F_1)
- Kuvvet: En sol uçtaki X cismi (G_X)
3. Tork Hesabının Detayı
Referans noktasını çubuğun en sağ ucu (duvara değdiği yer) aldığımızda mesafeler şöyle olur:
- Piston dikmesinin sağ uca uzaklığı: a kadar.
- X cisminin sağ uca uzaklığı: 3a (dikme ile X arası) + a (dikme ile sağ uç arası) = \mathbf{4a} kadar.
Sağ uca göre tork eşitliğini yazarsak:
G_X \cdot 4a = F_1 \cdot a
Buradan a değerleri sadeleştiğinde pistonun uyguladığı kuvvet:
F_1 = 4G_X
olarak bulunur.
@Akademik_Rehber Bu kısmı anladım şimdi sorunun çözümünü tekrar söyler misin
Su Cenderesi ve Kaldıraç Sisteminde Ağırlık Oranı Çözümü
1. Kaldıraçtan Pistona İletilen Kuvvet (F_1)
Çubuğun en sağ ucundaki destek noktasına göre tork dengesini kurduğumuzda:
- X cisminin desteğe dik uzaklığı: 3a + a = 4a
- S_1 pistonunun desteğe dik uzaklığı: a
G_X \cdot 4a = F_1 \cdot a \implies F_1 = 4G_X
Etki-tepki prensibi gereği, çubuk da S_1 pistonunu aşağıya doğru 4G_X kuvvetiyle iter.
2. Su Cenderesinde Basınç Dengesi (Pascal İlkesi)
Su seviyeleri ve pistonlar aynı yatay hizada dengede olduğundan, her iki koldaki sıvı basınçları birbirine eşittir:
P_1 = P_2 \implies \frac{F_1}{S_1} = \frac{G_Y}{S_2}
Soruda verilen S_1 = 20S_2 ve bulduğumuz F_1 = 4G_X değerlerini yerine yazalım:
\frac{4G_X}{20S_2} = \frac{G_Y}{S_2}
Her iki taraftaki S_2 kesit alanlarını sadeleştirelim:
\frac{4G_X}{20} = G_Y
\frac{G_X}{5} = G_Y \implies \frac{G_X}{G_Y} = 5
Sonuç: \mathbf{\dfrac{G_X}{G_Y} = 5} (Görselin sağ alt köşesinde parantez içindeki (5) ifadesi de bu cevabı doğrulamaktadır).
@Akademik_Rehber Ama sıvı basıncını bulurken yukarıdan gelen kuvveti ese bölmüyor muyduk yani F aşağıdan gelen tepki kuvveti olduğu için basınç yine bu şekilde mi bulunuyor yani şey demeye çalışıyorum her zaman cendere’nin üzerindeki yani o borudaki sıvı basıncını bulmak için aşağı doğru iten kuvvet bölü yüzey alanı yapıyorduk ya şimdi bu bizim kuvvetimiz tam tersi yönde olduğu için kafam karıştı
Kafanın karışması çok doğal, çünkü iki farklı cismin (çubuk ve piston) birbirine uyguladığı kuvvetler söz konusu. Bunu Newton’ın 3. Yasası (Etki - Tepki Prensibi) üzerinden netleştirelim:
Kuvvetlerin Yönleri Nasıl Çalışıyor?
-
Çubuk Açısından (Tork alırken baktığımız yer):
- X cismi çubuğu sol ucundan aşağı doğru çeker.
- Çubuğun aşağı inmesini engelleyen şey nedir? S_1 pistonunun üzerindeki dikmedir. Pistonun dikmesi çubuğu yukarı doğru iter.
- İşte tork alırken yazdığımız bu yukarı yönlü kuvvete F_1 = 4G_X dedik (bu, pistonun çubuğa uyguladığı kuvvettir).
-
Piston Açısından (Sıvı basıncını bulurken baktığımız yer):
- Piston çubuğu yukarı doğru itiyorsa, etki-tepki prensibi gereği çubuk da pistonu aynı büyüklükte fakat ZIT YÖNDE (yani AŞAĞI doğru) iter.
- Yani çubuğun S_1 pistonuna uyguladığı kuvvet tam olarak aşağı yönde 4G_X kadardır.
Sıvı Basıncına Etkisi
Senin dediğin kural kesinlikle doğru: Sıvıya yapılan basınç, pistonu aşağı doğru iten toplam dik kuvvetin yüzey alanına bölünmesiyle bulunur:
P = \frac{\text{Aşağı Doğru Bastıran Kuvvet}}{\text{Yüzey Alanı}}
- S_1 pistonunu aşağı doğru bastıran kuvvet = Çubuğun pistonu aşağı itme kuvveti = \mathbf{4G_X} (aşağı yönlü)
- S_2 pistonunu aşağı doğru bastıran kuvvet = Y cisminin ağırlığı = \mathbf{G_Y} (aşağı yönlü)
Dolayısıyla hiçbir yön çelişkisi yoktur; her iki kolda da pistonları aşağı doğru bastıran kuvvetler sıvıyı sıkıştırır:
P_1 = \frac{4G_X}{S_1} \quad \text{ve} \quad P_2 = \frac{G_Y}{S_2}
Özetle: Bulduğumuz 4G_X, çubuğu yukarı tutan kuvvettir; ama aynı kuvvet pistonu tam da istediğimiz gibi aşağı doğru ezen/bastıran kuvvettir.