Duru, evinde bulunan üç adet akvaryumun içerisindeki balıkları saymış ve toplam 23 adet balık olduğunu görmüştür. A, B ve C akvaryumlarında bulunan balıkların sayıları sırasıyla a, b ve c olmak üzere a, b ve c arasında
3 < 2c < a < 3c < b
bağıntısı vardır.
Buna göre içerisinde en fazla sayıda balık bulunan akvaryumdaki balık sayısının alabileceği farklı değerlerin toplamı kaçtır?
A) 29
B) 33
C) 38
D) 41
E) 47
Akvaryumlardaki Balık Sayısı Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Balık sayıları pozitif tam sayılardır (a, b, c \in \mathbb{Z}^+).
- Toplam balık sayısı: a + b + c = 23
- Verilen eşitsizlik: 3 < 2c < a < 3c < b
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — En Çok Balık Bulunan Akvaryumun Belirlenmesi
Verilen eşitsizliğe göre:
3 < 2c < a < 3c < b
c pozitif bir tam sayı olduğundan c < 2c < a < 3c < b sıralaması geçerlidir. Dolayısıyla en fazla balık bulunan akvaryum B akvaryumudur ve balık sayısı b’dir.
Adım 2 — c Değişkeninin Sınırlarının Belirlenmesi
Eşitsizliğin ilk kısmından:
3 < 2c \implies c > 1{,}5 \implies c \ge 2
a ve b tam sayıları için eşitsizlikten alt sınırlar yazılırsa:
a > 2c \implies a \ge 2c + 1
b > 3c \implies b \ge 3c + 1
Bu ifadeler toplam denkleminde yerine yazılır:
a + b + c = 23
(2c + 1) + (3c + 1) + c \le 23
6c + 2 \le 23 \implies 6c \le 21 \implies c \le 3{,}5
c bir tam sayı olduğundan alabileceği değerler yalnızca c = 2 ve c = 3 olabilir.
Adım 3 — Olası Durumların İncelenmesi
-
Durum 1: c = 2 olsun.
2c = 4 \quad \text{ve} \quad 3c = 64 < a < 6 \implies a = 5Toplam balık sayısı 23 olduğuna göre:
b = 23 - (a + c) = 23 - (5 + 2) = 16b > 3c şartı (16 > 6) sağlandığından birinci değer:
b = 16 -
Durum 2: c = 3 olsun.
2c = 6 \quad \text{ve} \quad 3c = 96 < a < 9 \implies a \in \{7, 8\}-
a = 7 için:
b = 23 - (7 + 3) = 13b > 3c şartı (13 > 9) sağlandığından:
b = 13 -
a = 8 için:
b = 23 - (8 + 3) = 12b > 3c şartı (12 > 9) sağlandığından:
b = 12
-
Adım 4 — Farklı b Değerlerinin Toplanması
En fazla balık bulunan akvaryumdaki balık sayısı (b)'nin alabileceği değerler kümesi:
\{12, 13, 16\}
Bu değerlerin toplamı:
12 + 13 + 16 = 41
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 41
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Tam Sayı Kısıtı: Sayılabilir nesneler (balık, insan vb.) daima pozitif tam sayı (\mathbb{Z}^+) olarak kabul edilir.
- Eşitsizliklerde Uç Değer Analizi: Belirli bir toplam verildiğinde, bilinmeyenlerin alabileceği en küçük tam sayı değerleri üzerinden üst sınır tespit edilir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: c değerinin 1 olabileceğini varsaymak. Ancak 3 < 2c şartı gereği c \ge 2 olmak zorundadır.- Doğru Yaklaşım: Eşitsizliğin her parçasını (3 < 2c, 2c < a, a < 3c, 3c < b) eş zamanlı kontrol ederek a için birden fazla tam sayı alternatifi olup olmadığını denemek.
Bu konuyu iyice pekiştirmek için benzer bir eşitsizlik ve tam sayı kısıtı sorusu çözmek ister misin?
@sorumatik_ai anlamadım ya
Adım Adım ve Daha Sade Anlatım
Bu soruyu karmaşık denklemler yerine, mantığını parça parça ayırarak ve somut sayılar vererek inceleyelim.
1. Elimdeki Bilgiler Neler?
- 3 akvaryumdaki balıkların toplamı:a + b + c = 23
- Balık sayısı buçuklu olamayacağı için a, b, c birer pozitif tam sayıdır.
- Verilen sıralama:3 < 2c < a < 3c < b
Sıralamanın en sağında b olduğu için en çok balık bulunan akvaryum b’dir. Soru bizden b’nin alabileceği değerleri bulup toplamamızı istiyor.
2. İpucunu Yakalayalım: c Sayısı Kaç Olabilir?
Eşitsizliğin en soluna bakalım:
3 < 2c
- c = 1 olamaz; çünkü 2 \cdot 1 = 2 yapar ve 3 < 2 ifadesi yanlıştır.
- Demek ki c sayısı en az 2 olabilir.
Peki c sayısı 4 veya daha büyük olabilir mi?
- Eğer c = 4 olsaydı:
- 2c = 8 ve 3c = 12 olurdu.
- Eşitsizliğe göre 8 < a < 12 < b olurdu.
- Bu durumda a en az 9, b ise en az 13 olmak zorunda kalırdı.
- Üçünü topladığımızda: c + a + b = 4 + 9 + 13 = 26 çıkardı.
- Fakat toplam balık sayısı yalnızca 23’tür! Sayı 23’ü aştığı için c = 4 veya daha büyük bir sayı olamaz.
Dolayısıyla c için deneyebileceğimiz sadece iki ihtimal vardır: c = 2 veya c = 3.
3. İhtimalleri Tek Tek Deneyelim
1. İhtimal: c = 2 olsun
Eşitsizlikte c yerine 2 yazalım:
3 < 2 \cdot 2 < a < 3 \cdot 2 < b
4 < a < 6 < b
- 4 ile 6 arasındaki tek tam sayı a = 5’tir.
- Şimdi toplam 23’ten b’yi bulalım:a + b + c = 235 + b + 2 = 237 + b = 23 \implies b = 16
- Kontrol: b > 6 şartını (16 > 6) sağlıyor mu? Evet.
- Birinci b değeri: 16
2. İhtimal: c = 3 olsun
Eşitsizlikte c yerine 3 yazalım:
3 < 2 \cdot 3 < a < 3 \cdot 3 < b
6 < a < 9 < b
Burada 6 ile 9 arasında a için iki seçenek vardır: a = 7 veya a = 8.
-
a = 7 olursa:
a + b + c = 237 + b + 3 = 2310 + b = 23 \implies b = 13- Kontrol: b > 9 şartını (13 > 9) sağlıyor mu? Evet.
- İkinci b değeri: 13
-
a = 8 olursa:
a + b + c = 238 + b + 3 = 2311 + b = 23 \implies b = 12- Kontrol: b > 9 şartını (12 > 9) sağlıyor mu? Evet.
- Üçüncü b değeri: 12
4. Sonuç
En çok balık bulunan akvaryumdaki balık sayısı (b)'nin alabileceği farklı değerler:
16, \ 13, \ 12
Bu değerlerin toplamı:
16 + 13 + 12 = 41
Doğru seçenek D şıkkıdır.
Takıldığın veya kafana yatmayan belirli bir adım varsa, o kısmı biraz daha detaylandıralım mı?