Sorudaki Topların Seçimi
Verilenler:
- Cam fanusta 20’den küçük iki basamaklı doğal sayılar:
10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19 - Kutuda ise 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 numaralı toplar var.
- Fanustan kutuya 2 top düşüyor.
- Kutuda son durumda rastgele seçilen bir topun asal olma olasılığı \frac{3}{5} .
- Düşen iki topun numaraları toplamı 30.
Adım 1 — Kutuda son durumda kaç top var?
Kutuda başlangıçta 8 top var:
2,3,4,5,6,7,8,9
Fanustan 2 top düşüyor, yani toplam top sayısı:
8 + 2 = 10
Adım 2 — Asal olma olasılığını kullanalım
Kutuda son durumda asal olma olasılığı:
\frac{3}{5}
Demek ki son durumda kutuda bulunan topların 3/5’i asal olmalı.
10 top olduğuna göre asal top sayısı:
10 \times \frac{3}{5} = 6
Yani son durumda kutuda 6 asal top olmalı.
Adım 3 — Kutudaki asalları sayalım
Başlangıçta kutudaki asal sayılar:
2, 3, 5, 7
Yani 4 asal top var.
Son durumda asal top sayısı 6 olacağına göre, fanustan düşen 2 topun 2’si de asal olmalı.
Fanustaki asal sayılar:
11, 13, 17, 19
Bu sayılardan ikisi seçilecek.
Adım 4 — Toplamı 30 olan ikilileri bulalım
Fanustaki asal sayılardan toplamı 30 yapan çiftleri kontrol edelim:
- 11 + 19 = 30
- 13 + 17 = 30
Başka yok.
Dolayısıyla 2 farklı durum vardır.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Cevap: C) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Kısa Kontrol
Seçilen iki topun ikisi de asal olmalı ve toplamları 30 olmalı.
Bu koşulu sağlayan çiftler yalnızca (11, 19) ve (13, 17)’dir.
Başka soruların olursa sormaktan çekinme! 
Cam fanustan kutuya düşen topların numaraları toplamı 30 olduğuna göre, kaç farklı olası durum vardır?
Çözüm Adımları:
Adım 1 — Problemin İçeriğini Anlamak
- Cam fanusta 20’den küçük iki basamaklı doğal sayılar var: 10, 11, 12, …, 19.
- Kutuda ise 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 numaralı toplar var.
- Mavi butona basıldığında cam fanustan 2 top kutuya düşüyor.
- Kutudan rastgele seçilen topun asal olma olasılığı \frac{3}{5} olarak verilmiş.
- Cam fanustan kutuya düşen topların numaraları toplamı 30.
- Buna göre, cam fanustan kutuya düşen 2 topun kaç farklı olası durumu vardır?
Adım 2 — Olası İkili Topları Belirlemek
Cam fanustaki toplar: 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19
İkili olarak seçilecekler, numaraları toplamı 30 olmalı.
Adım 3 — Tüm İkili Toplamları 30 Olan Çiftleri Bulmak
10 + 20 → 20 yok
11 + 19 = 30 (19 fanusta var)
12 + 18 = 30
13 + 17 = 30
14 + 16 = 30
15 + 15 = 30 (aynı top ikişer kez seçilemez)
16 + 14 = 30
17 + 13 = 30
18 + 12 = 30
19 + 11 = 30
İkili toplar böyle: (11,19), (12,18), (13,17), (14,16), (18,12), (17,13), (16,14), (19,11).
Buradaki çiftler (a,b) ve (b,a) şeklinde tekrar etmiştir. Yalnızca benzersiz olanlar:
(11,19), (12,18), (13,17), (14,16)
Adım 4 — Olası İkili Top Setini Belirlemek
4 farklı ikili var.
Adım 5 — Verilen Olasılık Koşulunu Kontrol Etmek
Kutuda 2,3,4,5,6,7,8,9 topları var. Kutudan son durumda rastgele bir top seçildiğinde asal olma olasılığı \frac{3}{5}.
Kutuda başlangıçta 8 top var (2-9 arası). Cam fanustan kutuya 2 top geliyor, kutudaki top sayısı 8+2=10 olur.
Ancak soru, sadece düşen top sayısını ve toplamını değil, aynı zamanda son durum için verilen asal olma olasılığını dikkate alıyor: \frac{3}{5}.
Asal sayılar kutuda: 2, 3, 5, 7 toplam 4 tane asal sayı var.
Kutudaki toplam top sayısı 10, asal sayı sayısı 4. Olasılık \frac{4}{10} = \frac{2}{5} olur ki bu verileni sağlamaz.
Ama düşen 2 top kutuda; yani kutuda öncelikle 2,3,4,5,6,7,8,9 topları var, sonra 2 top daha düşüyor, toplam 10 top oluyor.
Olasılık \frac{3}{5} = 0.6 ise, kutudaki asal sayı sayısı 0.6 × 10 = 6 olmalıdır.
Başlangıçta 2,3,5,7 = 4 asal top var. Artı cam fanustaki 2 top kutuya düştü. Bu iki topun asal olması veya olmaması önemlidir.
Adım 6 — İkili Topların Asallık Durumunu İncelemek
Cam fanustaki toplar: 10,11,12,13,14,15,16,17,18,19
Cam fanustan düşen iki top kutuda olduğunda toplam 10 top var. Bu 10 topludan 6’sı asal ise son durum olasılığı \frac{3}{5} olur.
Kutu önceleri 2,3,4,5,6,7,8,9
- Asal sayılar burada: 2,3,5,7 (4 tane)
- Cam fanustan gelen 2 toptaki asal sayılar ise son toplamda 6 asal sayı olması için 2 asal top olmalı (6-4=2).
Yani cam fanustaki 2 topun ikisi de asal sayı olmalı.
Cam fanustaki asal sayılar: 11, 13, 17, 19
Toplamları 30 olan ikili çiftlerden yalnızca asal sayılardan oluşanlar seçilmeli.
Önce toplamı 30 olup, ikisi de asal:
- (11,19) → 11+19=30 — her ikisi asal (✓)
- (13,17) → 13+17=30 — her ikisi asal (✓)
Diğer çiftler en az bir asal değil.
Sonuç: İki olası durum vardır: (11,19) ve (13,17).
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: C) 2
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
Temel Kavramlar:
- Olasılık: Son durumda, kutudan seçilen topun asal olma olasılığı hesaplanarak çiftlerin hangi koşulları sağlaması gerektiği bulunur.
- Asal Sayılar: Sadece asal olan topların sayısının artması gerektiği ortaya çıkar.
- İkili Toplamlar: Toplamı 30 olan ve verilen koşula uyan ikililerin bulunması gerekir.
Yapılan Sıkça Karşılaşılan Hatalar:
Toplam 30 olan çiftleri hemen saymak
- Yalnızca toplamına bakmak hatalıdır. Olasılık koşulunu unutmayın.
Asallık koşulunu göz ardı etmek
- Kutudaki toplam asal topların artması gerektiği unutulmamalıdır.
Başka soruların olursa ya da bu konuda adım adım bir örnek çözüm ister misin? Başka soruların olursa sormaktan çekinme!