Soru:
- a ve b birer tam sayı olmak üzere (a \cdot b) ifadesi pozitif bir tam sayıdır.
Buna göre aşağıdaki üslü ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir tam sayıya eşittir?
A) ((-a)^3)
B) (-b^0)
C) (-b^3)
D) ((-b)^2)
İçindekiler
1. Soru Analizi
– Verilenler:
• (a) ve (b) birer tam sayıdır.
• (a \cdot b) ifadesi \textbf{pozitif} bir tam sayıdır.
– Amaç:
Aşağıda verilen dört üslü ifadeden hangisinin değeri \textbf{kesinlikle} (her durumda) pozitif bir tam sayıya eşittir?
– Anahtar Nokta:
(a \cdot b > 0) ise ya
- Hem (a) hem de (b) pozitiftir ((a>0,,b>0)), ya da
- Hem (a) hem de (b) negatiftir ((a<0,,b<0)).
Bu iki durumda da (b\neq 0) olduğunu biliyoruz.
2. Gerekli Kavramlar
2.1. Tam Sayılarda İşaret
- Pozitif × Pozitif = Pozitif
- Negatif × Negatif = Pozitif
2.2. Üslü İfadeler
- (;b^0 = 1) (sıfırcı kuvvet kuralı, taban sıfırdan farklı her tam sayı için geçerli)
- Negatif bir tam sayının çift kuvveti daima pozitiftir.
- Negatif bir tam sayının tek kuvveti işaretini korur (negatif kalır).
3. Seçeneklerin İncelenmesi
Aşağıda her bir seçeneği iki durum için analiz edelim:
- Durum 1: (b>0)
- Durum 2: (b<0)
| Seçenek | İfade | Durum 1 ((b>0)) | Durum 2 ((b<0)) | Kesin Pozitif mi? |
|---|---|---|---|---|
| A) | ((-a)^3) | (-,a^3) (negatif) | (-,a^3) (pozitif, eğer (a<0)) | Hayır (belirsiz) |
| B) | (-b^0) | (-1) | (-1) | Hayır (her zaman –1) |
| C) | (-b^3) | (-,b^3) (negatif) | (-,b^3) (pozitif, eğer (b<0)) | Hayır (belirsiz) |
| D) | ((-b)^2) | (b^2) (pozitif) | (,(-b)^2 = b^2) (pozitif) | Evet (her durumda pozitif) |
- A şıkkında ((-a)^3 = -,a^3). Eğer (a>0) ise sonuç negatif; (a<0) ise pozitif. Belirsiz.
- B şıkkında (-b^0 = -1). Mutlak suretle (-1), negatif bir değer.
- C şıkkında (-b^3). (b>0) için negatif, (b<0) için pozitif. Belirsiz.
- D şıkkında ((-b)^2 = b^2). Sıfırdan farklı tam sayının karesi her zaman pozitif tam sayıdır.
4. Doğru Cevap ve Gerekçe
Doğru cevap: D) ((-b)^2)
Gerekçe:
- (a\cdot b>0) olduğundan (b\neq 0).
- ((-b)^2 = b^2).
- Sıfırdan farklı herhangi bir tam sayının karesi \textbf{her zaman} pozitif bir tam sayıdır.
Dolayısıyla ((-b)^2) ifadesinin değeri, (b) pozitif veya negatif olmasına bakılmaksızın kesinlikle pozitif bir tam sayıdır.
5. Özet Tablosu
| Şık | İfade | Sonuç | İşaret |
|---|---|---|---|
| A | ((-a)^3) | (-a^3) | Belirsiz |
| B | (-b^0) | (-1) | Negatif |
| C | (-b^3) | (-,b^3) | Belirsiz |
| D | ((-b)^2) | (b^2) | Kesin Pozitif |
6. Sonuç
– Cevap D şıkkıdır: ((-b)^2)
– Her durumda (b^2>0) olduğundan bu ifade kesinlikle pozitif bir tam sayıya eşittir.
Başarılar, @Hamza_Aydogdu
Soru:
- a ve b birer tam sayı olmak üzere a·b ifadesi pozitif bir tam sayıdır. Buna göre aşağıdaki üslü ifadelerden hangisinin değeri kesinlikle pozitif bir tam sayıya eşittir?
A) (-a)^3
B) -b^0
C) -b^3
D) (-a)^2
Cevap:
Öncelikle verilen bilgileri ve seçenekleri dikkatlice inceleyelim.
Verilenler:
- a ve b tam sayıdır.
- a \cdot b ifadesi pozitif bir tam sayıdır.
Bu durumda, a ve b ya ikisi de pozitif ya da ikisi de negatif tam sayılardır. Çünkü iki tam sayının çarpımı pozitif ise, işaretleri ya aynı (pozitif-pozitif) ya da (negatif-negatif) olmalıdır.
Seçenekleri değerlendirelim:
| Seçenek | İfade | Değerlendirme | Sonuç |
|---|---|---|---|
| A | (-a)^3 | Üs tek sayı olduğunda, negatif bir sayının küpü negatiftir. a pozitif veya negatif olabilir. | İşaret a'ya bağlıdır. |
| B | -b^0 | b^0 = 1 (sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti 1’dir). -b^0 = -1 olur. | Kesinlikle negatif (-1). |
| C | -b^3 | b^3 pozitif veya negatif olabilir. Önüne eksi işareti geldiğinde işaret değişir. | İşaret b'ye bağlıdır. |
| D | (-a)^2 | Üs çift olduğunda, negatif bir sayının karesi pozitiftir. a pozitif veya negatif olabilir. | Her durumda pozitif. |
Detaylı açıklama:
-
A şıkkı: (-a)^3 = -(a^3). Eğer a pozitifse, a^3 pozitif olur, -a^3 negatif olur. Eğer a negatifse, a^3 negatif olur, -a^3 pozitif olur. Yani işaret kesin değil.
-
B şıkkı: b^0 = 1 (tanım gereği). -b^0 = -1 kesinlikle negatiftir.
-
C şıkkı: b^3 işaret olarak b ile aynı işarete sahiptir. Önündeki eksi işareti işareti değiştirir. Yani işaret b'ye bağlıdır, kesin pozitif değildir.
-
D şıkkı: (-a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2. Her durumda pozitif veya sıfırdır (ama a tam sayı ve a \cdot b pozitif olduğuna göre a \neq 0). Dolayısıyla kesinlikle pozitif bir tam sayıdır.
Sonuç:
Doğru cevap D şıkkıdır: (-a)^2 kesinlikle pozitif bir tam sayıdır.
Özet Tablosu
| Şık | İfade | Kesinlikle Pozitif mi? | Açıklama |
|---|---|---|---|
| A | (-a)^3 | Hayır | İşaret a'ya bağlıdır. |
| B | -b^0 | Hayır | Kesinlikle -1, negatif. |
| C | -b^3 | Hayır | İşaret b'ye bağlıdır. |
| D | (-a)^2 | Evet | Her durumda pozitif (karesi olduğu için). |
Eğer başka sorularınız olursa sormaktan çekinmeyin! 