A
= 1 + 3 + 3^2 +
dots + 3^{45} 1nn B = 1 + 3A 1nnolduğuna göre, B - A 1 farkı kaçtır?nnA) 3^{43} 1nB) 3^{44} 1nC) 3^{45} 1nD) 3^{46} 1nE) 3^{47} 1
A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{45} ve B = 1 + 3A ise B - A Farkı Kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bu soruda temel cebirsel yerine koyma ve ortak paranteze alma yöntemi kullanılacaktır. Ayrıca üslü ifadelerde dağılma özelliği uygulanacaktır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — B İfadesini A Cinsinden Yazma
Soru bize B = 1 + 3A olarak verilmiştir. Bizden istenen ise B - A farkıdır. Bu durumda B yerine verilen eşiti yazalım:
B - A = (1 + 3A) - A
Adım 2 — İfadeyi Sadeleştirme
Parantezi açtığımızda ve benzer terimleri işleme soktuğumuzda:
$$B - A = 1 + 2A$$ sonucuna ulaşırız.
Adım 3 — A İfadesini 2 ile Çarpma
A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{45} olduğuna göre, 2A ifadesini bulmak için geometrik dizi toplam formülünü veya doğrudan çarpmayı kullanabiliriz. Ancak burada daha pratik bir yol izleyelim. A bir geometrik toplamdır:
A = \frac{3^{46} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{46} - 1}{2}
Bu durumda 2A ifadesi:
$$2A = 2 \times \left( \frac{3^{46} - 1}{2} \right) = 3^{46} - 1$$ olur.
Adım 4 — Sonucu Bulma
Bulduğumuz 2A değerini Adım 2’deki denklemde yerine koyalım:
B - A = 1 + (3^{46} - 1)
B - A = 1 + 3^{46} - 1
B - A = 3^{46}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 3^{46} (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Geometrik Toplam
- Tanım: Ardışık terimleri arasındaki oran sabit olan dizilerin toplamıdır.
- Bu problemde: 1 + r + r^2 + \dots + r^n = \frac{r^{n+1}-1}{r-1} formülü kullanılarak A değeri sadeleştirilmiştir.
SIK YAPILAN HATALAR:
İşlem Hatası
- Yanlış: 3 \times 3^{45} = 3^{135} olduğunu düşünmek.
- Doğru: Tabanlar aynıysa üsler toplanır: 3^1 \times 3^{45} = 3^{46}.
- Neden yanlış: Üslü sayılarda çarpma kuralı ile üssün üssü kuralını karıştırmak hatalı sonuç doğurur.
Bu çözümde kullanılan geometrik dizi toplam formülünün mantığını veya farklı bir yoldan (taraf tarafa çıkarma) çözümünü görmek ister misin?
@Yusuf_Kelekci Bana bu cevabı anlaşılır bir şekilde adım adım açıkla
A = 1 + 3 + 3^2 + \dots + 3^{45} ve B = 1 + 3A İse B - A Farkı Kaçtır?
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
Bu sorunun çözümünde Geometrik Dizi Toplam Formülü ve Cebirsel Yerine Koyma yöntemleri kullanılır.
- Geometrik Toplam Formülü: 1 + r + r^2 + \dots + r^n = \frac{r^{n+1}-1}{r-1}
- Üslü Sayı Kuralı: a^n \cdot a^m = a^{n+m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — A İfadesini Kapalı Formda Yazma
A ifadesi 3^0’dan başlayıp 3^{45}'e kadar giden bir toplamdır. Bu toplamı formül yardımıyla sadeleştirelim:
A = \frac{3^{45+1} - 1}{3 - 1} = \frac{3^{46} - 1}{2}
Adım 2 — B İfadesini Hesaplama
Soruda B = 1 + 3A olarak verilmiştir. Adım 1’de bulduğumuz A değerini burada yerine koyalım:
B = 1 + 3 \cdot \left( \frac{3^{46} - 1}{2} \right)
Adım 3 — B - A İşlemini Kurma
Bizden istenen B - A farkıdır. B yerine 1 + 3A yazarak ifadeyi sadeleştirelim:
B - A = (1 + 3A) - A
B - A = 1 + 2A
Adım 4 — 2A Değerini Yerine Yazma ve Sonuç
Adım 1’de A = \frac{3^{46} - 1}{2} olarak bulmuştuk. Buradan 2A = 3^{46} - 1 olur. Bu değeri Adım 3’teki denklemde yerine yazalım:
B - A = 1 + (3^{46} - 1)
B - A = 1 + 3^{46} - 1
B - A = 3^{46}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 3^{46} (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Geometrik Toplam
- Tanım: Terimlerin sabit bir oranla (burada r=3) arttığı toplam dizisidir.
- Bu problemde: Toplamın sonucunu rasyonel bir ifadeye çevirerek işlemleri kolaylaştırmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Üs Toplama Hatası
- Yanlış: 3 \cdot 3^{45} işlemini yaparken üsleri çarparak 3^{135} bulmak.
- Doğru: 3^1 \cdot 3^{45} = 3^{1+45} = 3^{46} olmalıdır.
- Neden yanlış: Çarpma işleminde tabanlar aynıysa üslerin toplanması kuralı unutulmamalıdır.
Bu çözümde kullandığımız formülün nereden geldiğini, yani bu tür toplamların neden bu formülle hesaplandığını ispatıyla birlikte öğrenmek ister misin?