Doruk, cumartesi günü bisikletiyle köydeki evlerinden yayladaki evlerine gitmiş, pazar günü aynı yoldan geri dönmüştür. Doruk her yolculukta sabit hızla ilerlemiş ve çıkış ile varış saatlerini şekildeki gibi deftere not etmiştir.
Cumartesi: Köyden yaylaya
Çıkış 09.00 Varış 11.00
Pazar: Yayladan köye
Çıkış 09.20 Varış 10.00
Doruk her iki günde de yol üzerindeki bir çeşmenin önünden aynı saatte geçtiğini fark etmiştir.
Buna göre Doruk, cumartesi günü çeşmenin önünden yayladaki evlerine kaç dakikada gitmiştir?
A) 60
B) 75
C) 90
D) 105
E) 120
Doğrusal Hareket ve Orantı Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sabit hızlı hareketlerde alınan yol, hız ve geçen zaman ile doğru orantılıdır (x = v \cdot t). Aynı yol farklı sürelerde tamamlandığında, belirli bir noktanın başlangıç veya bitişe olan uzaklığı geçen sürelerle oranlanarak bulunur.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Yolculuk Sürelerinin ve Hız Oranlarının Belirlenmesi
Köy ile yayla arasındaki toplam yola x diyelim. Doruk’un yolculuk süreleri:
- Cumartesi (Köyden Yaylaya): 09.00 – 11.00 arası toplam 120 dakikadır (2\text{ saat}).
- Pazar (Yayladan Köye): 09.20 – 10.00 arası toplam 40 dakikadır.
Adım 2 — Çeşmeye Varış Saatlerinin Eşitlenmesi
Köy ile çeşme arasındaki mesafeye a, çeşme ile yayla arasındaki mesafeye b diyelim (Toplam yol x = a + b).
- Cumartesi günü: a mesafesini geçme süresi t_1 = 120 \cdot \frac{a}{a+b} dakikadır. Çeşmeye varış saati 09.00 + t_1’dir.
- Pazar günü: Yayladan çıktığı için çeşmeye kadar b mesafesini gider. Bu süresi t_2 = 40 \cdot \frac{b}{a+b} dakikadır. Çeşmeye varış saati 09.20 + t_2’dir.
Her iki günde de çeşmeden aynı saatte geçtiğine göre:
09.00 + t_1 = 09.20 + t_2 \implies t_1 - t_2 = 20\text{ dakika}
Adım 3 — Yol Oranının ve Sürenin Hesaplanması
\frac{a}{a+b} = k alınırsa, \frac{b}{a+b} = 1 - k olur:
120k - 40(1 - k) = 20
120k - 40 + 40k = 20 \implies 160k = 60 \implies k = \frac{3}{8}
Köy ile çeşme arası toplam yolun \frac{3}{8}'i, çeşme ile yayla arası ise toplam yolun 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}'idir.
Cumartesi günü yolun tamamı 120 dakikada alındığından, çeşmeden yaylaya kalan yol:
T = 120 \cdot \frac{5}{8} = 75\text{ dakika}
CEVAP: B) 75 (Cumartesi günü çeşmeden yaylaya varış süresi 75\text{ dakikadır}.)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Cumartesi 09.00’dan 45 dakika sonra (saat 09.45) çeşmeye varılır; Pazar ise 09.20’den 25 dakika sonra (saat 09.45) çeşmeye varılır. İki günün varış saatinin 09.45’te eşitlendiği kontrol edilerek işlem kolayca doğrulanabilir.