Dört mavi top vardr

Question Answer
1
  1. Aşağıdaki torbada aynı büyüklokte iki sar, üç kirmizi ve
    dört mavi top vardr.
    Bu torbadan art arda rastgele ikişer top çekerek ve çekilen
    toplar geri atilmamak şartıyla bir oyun oynayan Ali ve
    Betül, oyunun kurallarını
    Ali: "1 sarı, 1 kırmizı top çekersem ben kazanırim.
    biçiminde belirliyorlar.
    Buna göre Ali ve Betül’ün ikişer top çektikleri bu
    oyunda ikisinin de kazanması olasılıği kaçtır?

Aşağıdaki torbada aynı büyüklokte iki sar, üç kirmizi ve dört mavi top vardr.
Aşağıdaki torbada aynı büyüklokte iki sar, üç kirmizi ve dört mavi top vardr.800×806 54 KB

2

Torbadan Top Çekme Oyununda İki Kişinin de Kazanma Olasılığı

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL:

Bir olayın gerçekleşme olasılığı:

P(A) = \frac{\text{İstenen Olası Durumların Sayısı}}{\text{Tüm Olası Durumların Sayısı}} = \frac{\binom{n}{r}}{\binom{E}{r}}

Bağımlı (geri bırakılmayan) olaylarda ardışık olasılık:

P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Başlangıç Durumunun Belirlenmesi
Torbadaki toplam top sayısı ve renk dağılımı:

  • Sarı: 2 adet
  • Kırmızı: 3 adet
  • Mavi: 4 adet
  • Toplam: 2 + 3 + 4 = 9 top

Adım 2 — Ali’nin Kazanma Olasılığının Hesaplanması
Ali’nin kazanması için 9 toptan çektiği 2 topun 1 sarı ve 1 kırmızı olması gerekir.

  • İstenen durum sayısı: \binom{2}{1} \times \binom{3}{1} = 2 \times 3 = 6
  • 9 toptan rastgele 2 top seçme durumu: \binom{9}{2} = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36
  • Ali’nin kazanma olasılığı:
P(\text{Ali}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}

Adım 3 — Kalan Top Sayısının Güncellenmesi
Çekilen toplar geri atılmadığı için torbadan 1 sarı ve 1 kırmızı top eksilmiştir:

  • Sarı: 2 - 1 = 1 adet
  • Kırmızı: 3 - 1 = 2 adet
  • Mavi: 4 adet
  • Kalan Toplam: 1 + 2 + 4 = 7 top

Adım 4 — Betül’ün Kazanma Olasılığının Hesaplanması
Betül’ün kazanması için kalan 7 toptan çektiği 2 topun 1 sarı ve 1 mavi olması gerekir.

  • İstenen durum sayısı: \binom{1}{1} \times \binom{4}{1} = 1 \times 4 = 4
  • Kalan 7 toptan rastgele 2 top seçme durumu: \binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21
  • Betül’ün kazanma olasılığı:
P(\text{Betül} \mid \text{Ali}) = \frac{4}{21}

Adım 5 — İkisinin de Kazanma Olasılığının Hesaplanması
Her iki durumun art arda gerçekleşme olasılığı:

P(\text{Toplam}) = P(\text{Ali}) \times P(\text{Betül} \mid \text{Ali}) = \frac{1}{6} \times \frac{4}{21} = \frac{4}{126} = \frac{2}{63}

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: \frac{2}{63}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Şartsız / Geri İadesiz Çekiliş (Bağımlı Olaylar)

  • Tanım: Çekilen nesnelerin geri konulmaması durumunda, ikinci olayın örnek uzayı ve eleman sayısı ilk olayın sonucuna göre değişir.
  • Bu problemde: Ali 2 top çektikten sonra toplam top sayısı 9’dan 7’ye düşmüş, sarı top sayısı 2’den 1’e inmiştir.

2. Kombinasyon ile Olasılık Hesabı

  • Tanım: Sıranın önemsiz olduğu durumlarda olası grup seçimlerini hesaplama yöntemidir.
  • Bu problemde: Renk gruplarından istenen adetler \binom{n}{r} şeklinde çarpılarak istenen durum bulunmuştur.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Top Sayısını Güncellemeyi Unutmak

  • Yanlış: Betül’ün olasılığı hesaplanırken torbada hâlâ 9 top ve 2 sarı top varmış gibi işlem yapmak.
  • Doğru: Ali’nin çektiği topları (1 sarı, 1 kırmızı) torbadan çıkarıp hesaba 7 top üzerinden devam etmek.
  • Neden yanlış: Çekilen toplar geri atılmadığı için örnek uzay küçülür.

Bu olasılık sorusundaki mantığı pekiştirmek için benzer bir koşullu olasılık veya top çekme problemi çözmemi ister misin?