TYT- A
Dört devre oynanan bir basketbol maçını kazananA
takımı, bu devrelerin üçünü önde tamamlamıştır. A takımı
ile rakibi B takımının herhangi bir devrede attıkları
sayılann farkı x olmak üzere,
|x-3| s 1
eşitsizliği sağlanmaktadır.
B takımı bir devrede en çok 18, en az 15 sayı attiğına
göre, bu maç sonucu aşağıdakilerden hangisi olabilir?
A) 88-76
D) 82- 66
B) 80-72
E) 82- 64
TEMEL MA
Ga-50
Yukar
kisıml
C,bv
kök ki
Dört Devreli Basketbol Maçı Skor Hesabı
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Mutlak değerli eşitsizlik kuralı:|f(x)| \le a \iff -a \le f(x) \le a
- Toplam skor ve fark sınırları:\text{Fark} = (\text{Kazanılan Devrelerin Farkları Toplamı}) - (\text{Kaybedilen Devrenin Farkı})
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Devre Başına Düşen Sayı Farkı Aralığını Bulma
Her devredeki sayı farkı x olduğuna göre verilen mutlak değerli eşitsizliği açalım:
|x - 3| \le 1
-1 \le x - 3 \le 1
2 \le x \le 4
Buna göre, herhangi bir devrede takımlar arasındaki sayı farkı en az 2, en çok 4 olabilir.
Adım 2 — B Takımının Toplam Skor Aralığını Belirleme
B takımı her bir devrede en az 15, en çok 18 sayı atmıştır:
- En az: 4 \times 15 = 60 sayı
- En çok: 4 \times 18 = 72 sayı
Dolayısıyla B takımının maç sonu toplam skoru (B_{\text{toplam}}) şu aralıkta olmalıdır:
60 \le B_{\text{toplam}} \le 72
Adım 3 — Maç Sonundaki Skor Farkının (A - B) Alabileceği Değerleri Bulma
A takımı 3 devreyi önde, 1 devreyi ise geride tamamlamıştır:
- A takımının önde bitirdiği 3 devredeki farklar: x_1, x_2, x_3 (2 \le x_i \le 4)
- B takımının önde bitirdiği 1 devredeki fark: x_4 (2 \le x_4 \le 4)
Toplam maç sonu farkı:
\text{Fark} = x_1 + x_2 + x_3 - x_4
- Maksimum Fark: x_1 = 4, x_2 = 4, x_3 = 4 ve x_4 = 2 için:\text{Fark}_{\text{en çok}} = 4 + 4 + 4 - 2 = 10
- Minimum Fark: x_1 = 2, x_2 = 2, x_3 = 2 ve x_4 = 4 için:\text{Fark}_{\text{en az}} = 2 + 2 + 2 - 4 = 2
Yani maç sonucu A - B farkı 2 ile 10 arasında olmalıdır:
2 \le A_{\text{toplam}} - B_{\text{toplam}} \le 10
Adım 4 — Seçeneklerin Analizi
- A) 88 – 76: B takımı 76 > 72 sayı attığı için ve fark 88 - 76 = 12 > 10 olduğu için olamaz.
- B) 80 – 72:
- B takımının puanı: 72 \le 72 (Aralıkta)
- Skor farkı: 80 - 72 = 8 (2 \le 8 \le 10 aralığında)
- Örnek durum: B takımı her devrede 18 sayı atsın. A takımı sırasıyla 22, 22, 22, 14 sayı attığında toplam 80 sayı yapar ve koşullar tam sağlanır. Dolayısıyla olabilir.
- C) 80 – 76: B takımı 76 > 72 sayı attığı için olamaz.
- D) 82 – 66: Skor farkı 82 - 66 = 16 > 10 olduğu için olamaz.
- E) 82 – 64: Skor farkı 82 - 64 = 18 > 10 olduğu için olamaz.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: B) 80 – 72
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Mutlak Değerli Eşitsizlikler
- Tanım: |x - a| \le b ifadesi, x değerinin sayı doğrusunda a noktasına olan uzaklığının en fazla b birim olduğunu belirtir.
- Bu problemde: Takımlar arasındaki sayı farkının 2 ile 4 arasında sınırlandırılmasında kullanılmıştır.
2. Sınır Değer (Ekstremum) Analizi
- Tanım: Bir fonksiyonun veya toplamın alabileceği minimum ve maksimum değerleri uç noktaları seçerek hesaplama yöntemidir.
- Bu problemde: A ve B takımlarının toplam farkının en az 2, en çok 10 olabileceğini tespit etmek için kullanılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
4 devrenin de A lehine bittiğini varsaymak
- Yanlış: Farkı doğrudan 4 \times 4 = 16 olarak alıp üst sınırı 16 bulmak.
- Doğru: Soruda A takımının devrelerin yalnızca 3’ünü önde tamamladığı, 1 devreyi ise kaybettiği belirtilmiştir.
- Neden yanlış: 1 devre kaybedildiği için o devredeki fark toplam farktan çıkarılmalıdır (+4+4+4-2=10).
Benzer tipte bir mutlak değer ve aralık sorusu çözerek konuyu daha da pekiştirmek ister misin?