Dört basamaklı K7L5 doğal sayısının 9 ile bölümünden kalan 4 olduğuna göre, K+L toplamının alabileceği farklı değerler toplamı kaçtır?
A) 11
B) 13
C) 15
D) 17
E) 19
9 ile Bölünebilme Kuralı ve Kalan Bulma
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir doğal sayının 9 ile bölümünden kalan, o sayının rakamları toplamının 9 ile bölümünden elde edilen kalana eşittir. Dört basamaklı bir sayının ilk basamağı sıfır olamayacağından 1 \le K \le 9 ve 0 \le L \le 9 sınırları geçerlidir.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Rakamlar Toplamı ve Bölünebilme Bağıntısı
Verilen K7L5 sayısının rakamları toplamı yazılıp 9 ile bölümünden kalanın 4 olduğu denklik kurulur:
K + 7 + L + 5 = K + L + 12
K + L + 12 = 9m + 4 \quad (m \in \mathbb{Z}^+)
K + L + 8 = 9m
Adım 2 — K + L İfadesinin Alabileceği Değerleri Belirleme
K bir sayının ilk basamağı olduğundan 1 \le K \le 9, L ise bir rakam olduğundan 0 \le L \le 9’dur. Bu durumda K + L toplamının aralığı 1 \le K + L \le 18 olur:
- m = 1 için: K + L + 8 = 9 \implies K + L = 1 (K = 1, L = 0 durumu bu şartı sağlar).
- m = 2 için: K + L + 8 = 18 \implies K + L = 10 (K = 5, L = 5 gibi değerler sağlar).
- m = 3 için: K + L + 8 = 27 \implies K + L = 19 olur; ancak iki rakamın toplamı en fazla 18 olabileceğinden bu değer alınamaz.
Adım 3 — Değerlerin Toplanması
K + L toplamının alabileceği farklı değerler 1 ve 10’dur:
1 + 10 = 11
CEVAP: A) 11 (K + L \in \{1, 10\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dört basamaklı sayı şartında K \neq 0 koşulunu unutmamak gerekir. K = 1 ve L = 0 seçildiğinde toplam K+L = 1 değerini rahatlıkla alabildiği için en küçük kat olan 1 değeri gözden kaçırılmamalıdır.