Dört basamaklı abcd doğal sayısının rakamları toplamı,
bu sayının her bir rakamının tam katı ise abcd sayısina
birbirinin tan katı sayi" denir.
Orneğin 2244 sayısı birbirinin tam katı sayıdır.
ve en küçük birbirinin tam katı sayının toplamı kaç-
tır?
A) 13 475
D) 10 857
B) 12 549
E) 10 271
C) 11 624
Rakamları Farklı En Büyük ve En Küçük Birbirinin Tam Katı Sayıların Toplamı
KURAL / KULLANILAN FORMÜL: Bir abcd sayısının “birbirinin tam katı sayı” olabilmesi için, rakamları toplamı olan S = a + b + c + d ifadesinin; a, b, c ve d rakamlarının her birine tam bölünmesi (kalansız bölünmesi) gerekir. Ayrıca soruda rakamları farklı şartı belirtilmiştir.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Step 1 — En Küçük Rakamları Farklı Birbirinin Tam Katı Sayıyı Bulma
En küçük sayı için binler basamağını 1 seçelim. Sayımız 1bcd olsun. Rakamlar farklı olacağı için 0 kullanamayız (toplamın her rakama bölünmesi gerekir, sıfıra bölünme tanımsızdır).
- Sayı 1234 olsun: Toplam 1+2+3+4=10. 10, 3 ve 4’e bölünmez.
- Sayı 1236 olsun: Toplam 1+2+3+6=12.
- 12 \div 1 = 12 (Tam)
- 12 \div 2 = 6 (Tam)
- 12 \div 3 = 4 (Tam)
- 12 \div 6 = 2 (Tam)
- En küçük sayı: 1236
Step 2 — En Büyük Rakamları Farklı Birbirinin Tam Katı Sayıyı Bulma
En büyük sayı için binler basamağını 9 seçerek başlayalım. Sayımız 9bcd olsun. Rakamlar toplamı hem 9’a hem de diğer rakamlara bölünmelidir.
- 9876 deneyelim: Toplam 30. 9’a bölünmez.
- 9642 deneyelim: Toplam 21. 9’a bölünmez.
- 963x deneyelim: Toplam 9’un katı olmalı. 9+6+3+d = 18+d. d=0 olamaz. d=9 olursa rakamlar aynı olur.
- 9321 deneyelim: Toplam 15. 9’a bölünmez.
- 8642 deneyelim: Toplam 20. 8 ve 6’ya bölünmez.
- 9621 deneyelim: Toplam 18.
- 18 \div 9 = 2 (Tam)
- 18 \div 6 = 3 (Tam)
- 18 \div 2 = 9 (Tam)
- 18 \div 1 = 18 (Tam)
- En büyük sayı: 9621
Step 3 — Sayıların Toplamını Hesaplama
Bulduğumuz en büyük ve en küçük sayıları toplayalım:
9621 + 1236 = 10857
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 10 857 (D Seçeneği)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Bölünebilme Kuralları
- Tanım: Bir sayının bir rakama tam bölünmesi için, o rakamın sayının bir çarpanı olması gerekir.
- Bu problemde: Rakamlar toplamı olan değerin, seçilen tüm basamak değerlerine kalansız bölünmesi şartı aranmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Rakamları Farklı Şartını Unutmak
- Yanlış: 1111 gibi sayıları denemek.
- Doğru: Soruda belirtilen “rakamları farklı” ibaresine dikkat edilmelidir.
- Neden Yanlış: Sorunun kısıtlamalarına uyulmadığı için sonuç hatalı çıkar.
Sıfır Rakamını Kullanmak
- Yanlış: 1023 gibi içinde 0 olan sayıları denemek.
- Doğru: Bir sayı sıfıra bölünemeyeceği için rakamlar arasında 0 bulunamaz.
Bu tür sorularda rakamlar toplamı üzerinden gitmek mi yoksa sayıları tek tek denemek mi senin için daha kolay oluyor? Benzer bir mantıkla rakamları toplamı 12 olan başka sayılar türetmemi ister misin?