Dört basamaklı 6abc doğal sayısının 10 ile bölümünden kalan 4’tür.
Bu sayı 11 ile tam bölündüğüne ve a < b olduğuna göre, a + b + c toplamı kaçtır?
A) 13
B) 14
C) 15
D) 16
E) 17
Bölünebilme Kuralları: 10 ve 11 ile Bölünebilme Analizi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Bir tam sayının 10 ile bölümünden kalan birler basamağına eşittir. 11 ile bölünebilme kuralında ise sayının basamakları birler basamağından başlanarak sola doğru sırasıyla +,-,+,- işaretleriyle gruplandırılır; elde edilen cebirsel toplam 11’in tam katı (11k, k \in \mathbb{Z}) olmalıdır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Birler Basamağını (c) Bulma
Dört basamaklı 6abc sayısının 10 ile bölümünden kalan 4 olarak verildiğinden, sayının son basamağı doğrudan bu kalana eşittir:
c = 4
Buna göre sayımız 6ab4 biçimindedir.
Adım 2 — 11 ile Bölünebilme Kuralını Uygulama
6ab4 sayısının basamaklarını sağdan sola doğru +,-,+,- şeklinde işaretleyip toplayalım:
(+4) + (-b) + (+a) + (-6) = a - b - 2
Sayının 11 ile tam bölünebilmesi için bu ifadenin 11’in bir katı olması gerekir:
a - b - 2 = 11k \quad (k \in \mathbb{Z})
Adım 3 — a < b Şartı ile Rakamları Belirleme ve Toplama
a < b olduğundan a - b farkı negatif bir tam sayı olmak zorundadır. a ve b birer rakam (0 \le a, b \le 9) olduğu için:
-9 \le a - b \le -1 \implies -11 \le a - b - 2 \le -3
Bu aralıkta 11’in katı olan tek değer -11’dir:
a - b - 2 = -11 \implies a - b = -9 \implies b - a = 9
Farkları 9 olan yegâne rakam ikilisi b = 9 ve a = 0’dır. (a < b koşulu 0 < 9 ile sağlanır.)
İstenen toplamı hesaplayalım:
a + b + c = 0 + 9 + 4 = 13
CEVAP: A) 13 (a+b+c = 13)
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Dört basamaklı bir sayıda ilk basamak sıfır olamaz; ancak ara basamaklar olan yüzler (a) ve onlar (b) basamakları sıfır değerini alabilir. a = 0 değerini elenmeden çözüme dahil etmek bu sorunun temel ayırt edici noktasıdır.