Doğrusal f ve g Fonksiyonları ile (gog)(0) Değerinin Bulunması

YKS TYT
1

a ve b birer gerçel sayı olmak Gzare selckoe
ol beaede eksonlori lesikliH
dngrusal t ve g fonksivonlanaenleri silinip
noktasınin bulundugu yer gösterilmigir
fve g fonksiyonları arasinda
gx) bfx +a)
eşitligi sağlandığına göre (gog(0) jfadesinin değeri
kactr?

Soru Görseli
Soru Görseli1024×434 48.8 KB

2

Doğrusal f ve g Fonksiyonları ile (gog)(0) Değerinin Bulunması

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜLLER:

  1. Doğrusal Fonksiyon Denklemi: f(x) = mx + n (burada m eğimdir).
  2. Eğim Formülü: m = \frac{\Delta y}{\Delta x}
  3. Bileşke Fonksiyon: (g \circ g)(0) = g(g(0))
  4. Verilen Eşitlik: g(x) = b - f(x + a)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Koordinat Sistemini ve A(a, b) Noktasını Belirleme
Görseldeki birim kareleri incelediğimizde eksenler silinmiş olsa da A(a, b) noktasının konumu bize referans verir. f ve g doğrularının kesişim noktasını merkez (orijin değil, sadece bir referans) kabul edelim.

  • g(x) doğrusu sağa yatık ve eğimi m_g = \frac{2}{1} = 2’dir.
  • f(x) doğrusu sola yatık ve eğimi m_f = \frac{-2}{1} = -2’dir.
  • Verilen g(x) = b - f(x + a) eşitliğinde eğimleri kontrol edersek: g'(x) = -f'(x+a) \cdot 1 yani 2 = -(-2), bu durum eğimlerle tutarlıdır.

Adım 2 — Fonksiyon Denklemlerini Oluşturma
Kesişim noktasını (x_0, y_0) olarak adlandırırsak:

  • f(x) = -2(x - x_0) + y_0
  • g(x) = 2(x - x_0) + y_0
    A(a, b) noktası görselde kesişim noktasının 1 birim solunda ve 2 birim yukarısındadır. Bu durumda:
  • a = x_0 - 1 \implies x_0 = a + 1
  • b = y_0 + 2 \implies y_0 = b - 2
    Denklemleri güncelleyelim:
  • f(x) = -2(x - (a + 1)) + b - 2 = -2x + 2a + b
  • g(x) = 2(x - (a + 1)) + b - 2 = 2x - 2a + b - 4

Adım 3 — g(0) Değerini Hesaplama
g(x) = 2x - 2a + b - 4 denkleminde x = 0 yazalım:

  • g(0) = 2(0) - 2a + b - 4 = b - 2a - 4

Adım 4 — (gog)(0) Yani g(g(0)) Değerini Bulma
Görseldeki A(a, b) noktasının yerini tam olarak analiz ettiğimizde, A noktasının f fonksiyonu üzerinde olduğu görülmektedir (A(a, b) noktası kırmızı doğrunun geçtiği bir kare köşesidir).
f(a) = b ise:
b = -2a + 2a + b (Bu her zaman doğrudur).
Ayrıca grafiğe göre g(0) değeri, fonksiyonun ötelenmiş haliyle b-2a-4 olarak bulunur. Grafikteki kareleri saydığımızda a=1 ve b=3 referansı alırsak (merkezi orijine taşıyarak):
g(0) = a değerine karşılık gelir. Verilen g(x) = b - f(x+a) bağıntısında x=0 için g(0) = b - f(a) olur.
f(a) = b olduğunu grafikten biliyoruz.
g(0) = b - b = 0 olur.

Adım 5 — Sonuç
(g \circ g)(0) = g(g(0))
g(0) = 0 olduğuna göre, bizden istenen g(0) değeridir.
g(0) = 0.

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
:white_check_mark: CEVAP: 0
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

1. Doğrusal Fonksiyon Grafiği

  • Tanım: y = ax + b formundaki, grafiği düz bir çizgi olan fonksiyonlardır.
  • Bu problemde: f ve g fonksiyonlarının eğimlerinin mutlak değerce eşit (2 ve -2) olduğu birim kareler üzerinden tespit edilmiştir.

2. Fonksiyonlarda Öteleme

  • Tanım: f(x+a) ifadesi fonksiyonun a birim sola ötelenmesini, dışarıdaki +b ise yukarı ötelenmesini ifade eder.
  • Bu problemde: g(x) fonksiyonunun f cinsinden tanımı, grafiklerin birbirine göre simetriğini ve konumunu belirlememizi sağlamıştır.

:warning: SIK YAPILAN HATALAR:

:cross_mark: Eksenleri Yanlış Tahmin Etmek

  • Yanlış: Rastgele bir yere x ve y ekseni çizmek.
  • Doğru: Eksenler silindiği için değerleri a ve b cinsinden bırakmak veya sadece değişim oranlarına (eğimlere) odaklanmak.
  • Neden Yanlış: Yanlış eksen seçimi sabit sayıların (n parametresi) hatalı bulunmasına yol açar.

Bu çözümde grafik üzerindeki A(a,b) noktasının f doğrusu üzerinde olduğu bilgisini kullanarak g(0)'a ulaştık. Benzer bir fonksiyon öteleme sorusu daha çözmemi ister misin?