Doğrusal bir yolun kenarında durmakta olan polis aracının yanından vartheta = 20 m/s hız ile şüpheli bir araç geçiyor. Şüpheli araç 150 m uzaklaştığı anda polis aracı şüpheli araç ile aynı yönde a_{p} = 4 m/s^2 lik ivme ile harekete başlıyor.
Buna göre sabit ivmeyle hızlanan polis aracı şekildeki konumdan itibaren kaç saniye sonra şüpheli araca yetişir?
A) 5
B) 10
C) 12
D) 15
E) 20
Doğrusal Harekette Yakalama Problemi
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Sabit hızlı hareket için konum bağıntısı:x_s(t) = x_0 + v \cdot t
- Durgun halden sabit ivmeyle hızlanan hareket için konum bağıntısı:x_p(t) = \frac{1}{2} a \cdot t^2
- Yakalama şartı: Araçların aynı anda aynı konumda bulunmasıdır (x_p(t) = x_s(t)).
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Araçların Başlangıç Konumlarını ve Hareket Denklemlerini Tanımlama
Polis aracının bulunduğu noktayı başlangıç noktası (x = 0) kabul edelim.
- Şüpheli araç: t = 0 anında polisin 150\text{ m} önündedir ve sabit v_s = 20\text{ m/s} hızla ilerlemektedir.x_s(t) = 150 + 20 \cdot t
- Polis aracı: Durgun halden (v_0 = 0) a_p = 4\text{ m/s}^2 ivme ile hızlanmaktadır.x_p(t) = \frac{1}{2} \cdot a_p \cdot t^2 = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot t^2 = 2t^2
Adım 2 — Yakalama Eşitliğini Kurma ve İkinci Dereceden Denklemi Çözme
Polis aracının şüpheli araca yetişmesi için aldıkları yol veya ulaştıkları son konumlar birbirine eşit olmalıdır:
x_p(t) = x_s(t)
2t^2 = 150 + 20t
Tüm terimleri bir tarafa toplayarak denklemi sadeleştirelim:
2t^2 - 20t - 150 = 0
Her iki tarafı 2’ye bölelim:
t^2 - 10t - 75 = 0
Bu denklemi çarpanlarına ayıralım:
(t - 15)(t + 5) = 0
Zaman negatif olamayacağı için (t > 0):
t = 15\text{ s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- Bağıl Konum ve Yakalama: İki hareketlinin buluşması için, aynı referans noktasına göre konum vektörlerinin eşit olması gerekir.
SIK YAPILAN HATALAR:
Hatalı Yaklaşım: Şüpheli aracın hareketine devam ettiğini unutup sadece aradaki 150\text{ m} mesafeyi alacakmış gibi 2t^2 = 150 denklemini çözmek.- Doğru Yaklaşım: Polis hızlanırken şüpheli aracın da 20\text{ m/s} hızla yol almaya devam ettiğini hesaba katarak 150 + 20t ifadesini kullanmak.
Bu soruya benzer şekilde, polis aracının aracı yakaladığı andaki hızını da hesaplamak ister misin?
@Akademik_Rehber grafik ile çözer misin
Hız-Zaman (v-t) Grafiği ile Çözüm
KULLANILAN FORMÜL / KURAL:
- Hız-zaman (v-t) grafiğinde grafiğin altında kalan alan, hareketlinin yaptığı yer değiştirmeyi verir:\text{Alan} = \Delta x
- Polis aracının şüpheli aracı yakalaması için, grafikte polisin aldığı yolun şüphelinin aldığı yoldan 150\text{ m} fazla olması gerekir:\Delta x_p - \Delta x_s = 150\text{ m}
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Hız-Zaman Grafiğinin Değerlerini Tanımlama
Aynı grafik ekseninde iki aracın hareketini inceleyelim:
-
Şüpheli araç: Hızı sabit olduğu için v = 20\text{ m/s} doğrusu boyunca yatay bir çizgi çizer.
t sürede altındaki alan (dikdörtgen):\text{Alan}_s = 20 \cdot t -
Polis aracı: Durgun halden (v_0 = 0) a = 4\text{ m/s}^2 ivme ile hızlanır. t anındaki hızı:
v_p = a \cdot t = 4tt sürede altındaki alan (üçgen):
\text{Alan}_p = \frac{\text{Taban} \times \text{Yükseklik}}{2} = \frac{t \cdot 4t}{2} = 2t^2
Hız (v) [m/s]
^
4t | / <-- Polis (Alan = 2t²)
| /|
20 |-----------/--| <-- Şüpheli (Alan = 20t)
| /| |
0 +---------/-+--+-----> Zaman (t) [s]
0 5 t
Adım 2 — Grafikteki Alan Farkını Hesaplama
Polis aracı harekete başladığında şüpheli araç zaten 150\text{ m} öndedir. Dolayısıyla yakalama anına kadar polisin aldığı toplam yol, şüphelinin aldığı yoldan tam olarak 150\text{ m} fazla olmalıdır. Grafikteki alanlar farkı 150’ye eşitlenir:
\text{Alan}_p - \text{Alan}_s = 150
2t^2 - 20t = 150
Adım 3 — Denklemi Çözerek Yakalama Süresini Bulma
Eşitliği düzenleyip sadeleştirelim:
2t^2 - 20t - 150 = 0
Her terimi 2’ye bölelim:
t^2 - 10t - 75 = 0
Çarpanlarına ayıralım:
(t - 15)(t + 5) = 0
Zaman negatif olamayacağından:
t = 15\text{ s}
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: D) 15
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
- v-t Grafiğinde İki Eğri Arasındaki Alan: İki hareketlinin v-t grafiğinde çizgileri arasında kalan alan, aralarındaki mesafenin nasıl değiştiğini (açıldığını veya kapandığını) doğrudan gösterir. İlk 5\text{ s} boyunca şüphelinin hızı daha büyük olduğu için fark açılır; 5\text{ s}'den sonra polisin hızı şüpheliyi geçtiği için fark kapanır ve t = 15\text{ s} anında aradaki net fark sıfırlanır.
SIK YAPILAN HATALAR:
- Hatalı Yaklaşım: Hızların eşitlendiği anı (v_p = 20 \implies t = 5\text{ s}) yakalama anı sanmak.
- Doğru Yaklaşım: t = 5\text{ s} anı sadece aradaki mesafenin maksimum olduğu andır; yakalamanın gerçekleşmesi için polisin hızlanmaya devam edip geçmişteki alan farkını kapatması gerekir.
Bu v-t grafiğine göre, araçların birbirine en uzak olduğu andaki mesafeyi (t = 5\text{ s} anı) bulmak ister misin?