Doğrusal bir tel veriliyor

Üniversite
1

Soru:
2. Kesitin her tarafina düzgün dağılmış kararlı bir L, akımı taşıyan R yarıçap1 uzun ve
doğrusal bir tel veriliyor. rR ve r<R bölgelerinde telin merkezinden r uzakhktaki
noktalarda manyetik alanı bulunuz.

Soru Fotoğrafı:
!Soru Görseli [Link Silindi]

2

Kesitin her tarafına düzgün dağılmış akım taşıyan uzun ve yarıçapı R olan doğrusal telin merkezinden r uzaklıktaki manyetik alanın bulunması (r ≥ R ve r < R için)

:light_bulb: KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

  • Ampere’in devre yasası: \oint \mathbf{B} \cdot d\mathbf{l} = \mu_0 I_{\text{enc}}
  • Manyetik alan, uzun düz tel için Ampere çevresinde simetriktir ve \mathbf{B} manyetik alanı tel etrafında dairesel şekildedir.
  • Akım yoğunluğu: J = \frac{I_0}{\pi R^2} (düzgün dağılmış akım)

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — Telin dışındaki nokta için (r ≥ R)
Telin dışındaki noktada, telin toplam akımı I_0 alan içerisine alınır.
Ampere çevresi olarak yarıçapı r olan bir daire seçilir.
Denklem:

B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_0

Buradan manyetik alan:

B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}

Adım 2 — Telin içindeki nokta için (r < R)
İçerdeyken telin merkezinden r yarıçaplı çevredeki akım, toplam akımın orantılı kısmıdır.
Akım yoğunluğu:

J = \frac{I_0}{\pi R^2}

İçeri alınan akım:

I_{\text{enc}} = J \cdot \pi r^2 = I_0 \frac{r^2}{R^2}

Ampere çevresi üzerinde manyetik alan:

B \cdot 2\pi r = \mu_0 I_{\text{enc}} = \mu_0 I_0 \frac{r^2}{R^2}

Buradan manyetik alan:

B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi R^2} r

:white_check_mark: CEVAP:

  • r \geq R için:
B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}
  • r < R için:
B = \frac{\mu_0 I_0}{2\pi R^2} r

:bullseye: TEMEL KAVRAMLAR:

  1. Ampere’in Devre Yasası
  • Tanım: Manyetik alanın bir kapalı yol boyunca integrali, o yol tarafından kesilen toplam akıma bağlıdır.
  • Bu problemde: Tel içi ve dışı noktalar için manyetik alan hesaplama temelini oluşturur.
  1. Akım Yoğunluğu
  • Tanım: Birim alan başına düşen akım miktarıdır.
  • Bu problemde: Tel kesiti içindeki akımın dağılımını gösterir ve kesit içindeki manyetik alan hesabında kullanılır.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?

3

Kesitin her tarafına düzgün dağılmış kararlı bir I_0 akımı taşıyan, R yarıçaplı uzun ve doğrusal bir tel veriliyor. r\ge R ve r<R bölgelerinde telin merkezinden r uzaklıktaki noktalarda manyetik alanı bulunuz.

KULLANILAN KURAL / FORMÜL:

Ampère yasası: $$\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}$$

ÇÖZÜM ADIMLARI:

Adım 1 — r\ge R bölgesi (telin dışı)

Ampère çevresi olarak tel eksenine merkezli yarıçapı r olan çember alınır; manyetik alan simetrik olup doğrultusu çevresel (azimutal) yönündedir.

\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B\cdot 2\pi r
B\cdot 2\pi r=\mu_0 I_0
B=\frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}

Açıklama: yön sağ el kuralına göre çevresel yöndedir (azimutal, \hat{\phi}).

Adım 2 — r<R bölgesi (telin içi)

Akım yoğunluğu (yüzeysel değil, hacimsel değilse de kesit düzleminde sabit) eşit dağılmış olduğundan akım yoğunluğu J şöyle verilir:

J=\frac{I_0}{\pi R^2}

Çapı r olan iç dairenin içine giren akım I_{\mathrm{enc}} alanla orantılıdır:

I_{\mathrm{enc}}=J\cdot \pi r^2
I_{\mathrm{enc}}=\frac{I_0}{\pi R^2}\cdot \pi r^2
I_{\mathrm{enc}}=I_0\frac{r^2}{R^2}

Ampère yasasını uygulayalım:

\oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B\cdot 2\pi r
B\cdot 2\pi r=\mu_0 I_{\mathrm{enc}}
B\cdot 2\pi r=\mu_0 I_0\frac{r^2}{R^2}
B=\frac{\mu_0 I_0 r^2}{2\pi r R^2}
B=\frac{\mu_0 I_0 r}{2\pi R^2}

Açıklama: yön yine sağ el kuralına göre çevreseldir (\hat{\phi}) ve r ile doğrusal artar (iç bölgede).

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP:

  • r\ge R için:

    \displaystyle B(r)=\frac{\mu_0 I_0}{2\pi r}\ \ (\hat{\phi}\ \text{yönünde})

  • r<R için:

    \displaystyle B(r)=\frac{\mu_0 I_0\, r}{2\pi R^2}\ \ (\hat{\phi}\ \text{yönünde})

━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━

TEMEL KAVRAMLAR:

  • Ampère yasası

    • Tanım: Bir kapalı yol üzerindeki manyetik alan çizgilerinin integrali ile o yol tarafından sarılan akım arasındaki ilişkiyi verir.
    • Bu problemde: Simetrik durumda \oint \mathbf{B}\cdot d\mathbf{l}=B(2\pi r) olarak kullanıldı.

  • Akım yoğunluğu

    • Tanım: Kesit alanı başına düşen akım, J=I/\text{alan}.
    • Bu problemde: İç bölgedeki kapalı akım, alan oranıyla hesaplandı: I_{\mathrm{enc}}=I_0 (r^2/R^2).

SIK YAPILAN HATALAR:

  • :cross_mark: Yanlış: İç bölgede tüm akımın I_0 olduğu varsayımı.

    • Doğru: İçerdeki akım kesit oranına göre I_0 (r^2/R^2) olmalıdır.
    • Neden yanlış: Akım eşit dağıtıldığından yalnızca kesitin bir kısmı içerdedir.
    • Düzeltme: Akım yoğunluğunu kullanarak kapalı akımı hesaplayın.

  • :cross_mark: Yanlış: Yönü hesaba katmamak.

    • Doğru: Manyetik alan çevresel (azimutal) yöndedir; yön sağ el kuralıyla bulunur.
    • Neden yanlış: Ampère uygulaması skaler büyüklük verir; yön sağ el kuralıyla belirlenir.
    • Düzeltme: Sonuca \hat{\phi} yönünü ekleyin veya sağ el kuralını belirtin.

Başka soruların olursa sormaktan çekinme! :rocket:
Bu konuyla ilgili başka bir örnek ister misin?