Doğrusal bir şekilde ilerleyen bir hareketli önce 3 metre batıya, sonra 9 metre kuzeye, sonra 27 metre doğuya, sonra 81

Question Answer
1

Doğrusal bir şekilde ilerleyen bir hareketli önce 3 metre batıya, sonra 9 metre kuzeye, sonra 27 metre doğuya, sonra 81 metre güneye,$ 1.. şeklinde periyodik olarak yol almaktadır.
Hareketli, hareketini 3 'ün pozitif tam sayı kuvvetleri şeklinde yaptığına göre hareketlinin 8 . yön değiştirmeden sonra aldığı toplam yol ile 10. yön değiştirmeden sonra aldığı toplam yol arasındaki fark kaç metredir?
A) 4 \cdot 3^9
B) 3^{10}
C) 6 \cdot 3^8
D) 2 \cdot 3^{10}
E) 3^{21}

Doğrusal bir şekilde ilerleyen bir hareketli önce 3 metre batıya, sonra 9 metre kuzeye,...
Doğrusal bir şekilde ilerleyen bir hareketli önce 3 metre batıya, sonra 9 metre kuzeye,...914×800 120 KB

2

Üslü Sayılar ve Geometrik Dizi ile Toplam Yol Problemi

:light_bulb: KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Ardışık adımlarda alınan yollar 3’ün pozitif tam sayı kuvvetleri (3^n) biçimindedir. n. yön değiştirmeden sonra alınan toplam yol S_n = \sum_{k=1}^{n} 3^k bağıntısıyla bulunur; iki farklı dönüm noktası arasındaki fark ise bu iki nokta arasında katedilen adımların uzunlukları toplamına eşittir.

:brain: ÇÖZÜM ADIMLARI

Adım 1 — Yön Değiştirme Noktaları ve Yol İlişkisinin Belirlenmesi
Görseldeki hareket incelendiğinde:

    1. yön değiştirmeye kadar alınan yol: 3^1 = 3\text{ m}
    1. yön değiştirmeye kadar alınan yol: 3^1 + 3^2\text{ m}
    1. yön değiştirmeye kadar alınan yol: 3^1 + 3^2 + 3^3\text{ m}
    1. yön değiştirmeye kadar alınan yol: 3^1 + 3^2 + 3^3 + 3^4\text{ m}

Buna göre, n. yön değiştirmeden hemen sonra ulaşılan toplam yol:

S_n = 3^1 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^n

Adım 2 — 8. ve 10. Yön Değiştirmeler Arasındaki Yol Farkının Hesaplanması

    1. yön değiştirmeden sonra alınan toplam yol: S_8 = 3^1 + 3^2 + \dots + 3^8
    1. yön değiştirmeden sonra alınan toplam yol: S_{10} = 3^1 + 3^2 + \dots + 3^8 + 3^9 + 3^{10}

İki durum arasındaki fark, 8. yön değiştirmeden sonra gidilen 9. ve 10. etapların uzunlukları toplamıdır:

S_{10} - S_8 = 3^9 + 3^{10}

Adım 3 — Üslü İfadelerde Ortak Çarpan Parantezine Alma
İfadeyi en küçük üs olan 3^9 parantezine alarak sadeleştirelim:

3^9 + 3^{10} = 3^9 \cdot (1 + 3^1) = 3^9 \cdot 4 = 4 \cdot 3^9\text{ metre}

:white_check_mark: CEVAP: A) 4 \cdot 3^9 (S_{10} - S_8 = 4 \cdot 3^9\text{ m})

:warning: SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: İki toplam arasındaki fark sorulduğunda geometrik serinin toplam formülünü ayrı ayrı açıp çıkarmak yerine, aradaki terimleri (3^9 ve 3^{10}) doğrudan toplayıp ortak çarpan parantezine almak işlem hatasını önler ve zaman kazandırır.