Doğrusal bir kontrol pistinin başlangıç noktası sıfır olarak belirlenmiş ve sıfırın sağ tarafındaki bir K noktasına bir ana verici yerleştirilmiştir.
Bu pist üzerinde; başlangıç noktasına uzaklığı, ana vericinin başlangıç noktasına uzaklığının %25’ine eşit olan noktalara iki adet alt verici kurulmuştur.
Kurulan bu alt vericilerden birinin ana vericiye uzaklığı 15 metre olduğuna göre K noktasının koordinatının alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 24
B) 25
C) 28
D) 32
E) 36
Sayı Doğrusunda Mutlak Değer ve Uzaklık Problemleri
KULLANILAN FORMÜL / KURAL: Sayı doğrusu üzerinde bir x noktasının başlangıç noktasına (0) uzaklığı |x|, iki nokta arasındaki uzaklık ise |x_1 - x_2| bağıntısıyla hesaplanır.
ÇÖZÜM ADIMLARI
Adım 1 — Verilen Noktaların Koordinatlarını Belirleme
K noktası 0’ın sağında yer aldığından koordinatı k > 0 olur. Ana vericinin başlangıç noktasına olan uzaklığı k birimdir. Başlangıç noktasına uzaklığı bu değerin \%25’ine (\frac{k}{4}) eşit olan iki farklı alt verici noktası (V_1 ve V_2) tanımlanır:
V_1 = \frac{k}{4} \quad \text{ve} \quad V_2 = -\frac{k}{4}
Adım 2 — Alt Vericilerin Ana Vericiye Olan Uzaklıklarını Hesaplama
Alt vericilerden herhangi birinin K noktasına uzaklığı 15 metre olduğundan iki farklı durum incelenir:
-
1. Durum (V_1 noktasının K’ya uzaklığı 15 metre ise):
k - \frac{k}{4} = 15 \implies \frac{3k}{4} = 15 \implies k = 20 -
2. Durum (V_2 noktasının K’ya uzaklığı 15 metre ise):
k - \left(-\frac{k}{4}\right) = 15 \implies \frac{5k}{4} = 15 \implies k = 12
Adım 3 — Değerler Toplamını Bulma
K noktasının koordinatının alabileceği değerlerin toplamı:
20 + 12 = 32
CEVAP: D) 32 (k \in \{12, 20\})
SINAV NOTU / PÜF NOKTASI: Başlangıç noktasına eşit uzaklıkta bulunan iki nokta dendiğinde, sıfırın hem pozitif (sağ) hem de negatif (sol) tarafındaki simetrik noktaların mutlaka ayrı ayrı ele alınması gerekir.