Doğrular ve Ox Ekseni Arasında Kalan Bölgenin Alanından m Bulma

YKS TYT
1

17686673107718365814839936720298
17686673107718365814839936720298720×960 24.7 KB

2

Doğrular ve Ox Ekseni Arasında Kalan Bölgenin Alanından m Bulma

Önemli Noktalar

  • Birinci doğrunun eğimi m, (0,3) noktasından geçer
  • İkinci doğrunun eğimi -m, (0,7) noktasından geçer
  • Bu iki doğru ile Ox ekseni arasında kalan bölgenin alanı 60 birimkaredir
  • Amaç: m değerini bulmak

m, pozitif bir gerçek sayı olmak üzere; doğruların denklemlerini yazıp, çizilen şeklin alanını kullanarak m değerini hesaplayabiliriz.

İçindekiler

  1. Doğruların Denklemlerinin Yazılması
  2. Alanın Hesaplanması
  3. m Değerinin Bulunması

Doğruların Denklemlerinin Yazılması

  • Birinci doğru: (0,3) noktasından geçer, eğimi m
    Doğrunun denklemi:

    y - 3 = m(x - 0) \Rightarrow y = mx + 3

  • İkinci doğru: (0,7) noktasından geçer, eğimi -m
    Doğrunun denklemi:

    y - 7 = -m(x - 0) \Rightarrow y = -mx + 7

Her iki doğru da ikinci veya birinci dereceden ve eğimleri zıt işaretlidir.

Alanın Hesaplanması

Bu doğrular ve Ox ekseni (y=0) arasında kalan bölge bir üçgen oluşturur. Bu üçgenin köşe noktaları Ox ekseni ile doğruların x-kesişim noktaları ve doğrunun birbirini kestiği noktadır.

Ox ekseni ile kesişimler

  • İlk doğrunun Ox kesişimi:
    0 = mx + 3 \Rightarrow x = -\frac{3}{m}
  • İkinci doğrunun Ox kesişimi:
    0 = -mx + 7 \Rightarrow x = \frac{7}{m}

Doğruların kesim noktası

İki doğrunun kesim noktası,

mx + 3 = -mx + 7 \Rightarrow 2mx = 4 \Rightarrow x = \frac{2}{m}

Bu x için y:

y = m\cdot \frac{2}{m} + 3 = 2 + 3 = 5

Kesim noktası: \left(\frac{2}{m}, 5\right)

Bölgenin alanı hesaplaması

Şekil aşağıdaki gibi:

  • Sol taban noktası \left(-\frac{3}{m}, 0\right)
  • Sağ taban noktası \left(\frac{7}{m}, 0\right)
  • Tepesi \left(\frac{2}{m}, 5\right)

Alan formülü (taban ve yükseklik):
Önce taban uzunluğunu bulalım:

\text{Taban} = \frac{7}{m} - \left(-\frac{3}{m}\right) = \frac{10}{m}

Yükseklik 5 birimdir.

Alan:

A = \frac{1}{2} \times \text{Taban} \times \text{Yükseklik} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{m} \times 5 = \frac{25}{m}

Alan soruda 60 olarak verildiği için:

\frac{25}{m} = 60 \Rightarrow m = \frac{25}{60} = \frac{5}{12}

m Değerinin Bulunması

Böylece m = \frac{5}{12} bulunur. Şıklara baktığımızda doğru cevap D şıkkı: \frac{5}{12} olur.

Özet Tablo

Adım İşlem Sonuç
Birinci doğrunun denklemi y = mx + 3
İkinci doğrunun denklemi y = -mx + 7
Doğruların kesim noktası x = \frac{2}{m}, y = 5 \left(\frac{2}{m},5\right)
Ox ekseni kesişimleri -\frac{3}{m}, 0 ve \frac{7}{m}, 0
Alan formülü A = \frac{1}{2} \times taban \times yükseklik A = \frac{25}{m}
Verilen alan 60
Bulunan m \frac{5}{12} Doğru cevap: D

Sık Sorulan Sorular

1. Neden tablo uzunluğu \frac{10}{m} olarak hesaplandı?
İki doğrunun Ox ekseni ile kesim noktaları arası mesafe farkının mutlak değeridir:

\frac{7}{m} - \left(-\frac{3}{m}\right) = \frac{7}{m} + \frac{3}{m} = \frac{10}{m}

2. Alan formülü neden üçgen alanı olarak hesaplandı?
İki doğrudan ve Ox ekseniyle kapalı bölge şekil itibarıyla üçgendir; alan formülü de üçgen alanı formülüdür.

3. m’nin negatif olmaması neden önemli?
m pozitif olarak tanımlandığı için negatif çözümler elenmiştir.

Sonraki Adımlar

Bu tip sorularda alanın doğrular ve eksen arasında nasıl hesaplanacağını örneklerle daha fazla öğrenmek ister misiniz? Ya da doğruların eğimi ve kesim noktaları içeren farklı problemlere bakmak ister misiniz?

@Jelly

3

m = 5/12

S-33: m pozitif bir gerçek sayı olmak üzere… m kaçtır?


Önemli Noktalar

  • m pozitif bir gerçek sayıdır.
  • Birinci doğru: (0, 3) noktasından, eğimi m.
  • İkinci doğru: (0, 7) noktasından, eğimi −m.
  • Bu doğrular ve Ox ekseni arasında kalan bölge üçgen oluşturur.
  • Üçgenin alanı $$60$$ birim²’dir.

İçindekiler

  1. Çözüm
  2. Özet Tablosu
  3. SSS

Çözüm

  1. Doğru denklemleri:
    • Doğru 1: $$y = m,x + 3$$
    • Doğru 2: $$y = -m,x + 7$$
  2. Ox ekseni kesişimleri:
    • Doğru 1 için $$0 = m,x + 3 \implies x = -\tfrac{3}{m}$$
    • Doğru 2 için $$0 = -m,x + 7 \implies x = \tfrac{7}{m}$$
  3. Doğruların kesim noktası P:
    m\,x + 3 = -m\,x + 7 \implies x = \tfrac{2}{m},\quad y = 5.
    Yani P\bigl(\tfrac{2}{m},5\bigr).
  4. Oluşan üçgenin tabanı
    AB = \Bigl(\tfrac{7}{m} - \bigl(-\tfrac{3}{m}\bigr)\Bigr) = \tfrac{10}{m},
    yüksekliği h = 5.
  5. Üçgen alanı:
    $$A = \tfrac{1}{2}\times \tfrac{10}{m}\times 5 = \tfrac{25}{m} = 60
    ;\Longrightarrow; m = \tfrac{25}{60} = \tfrac{5}{12}.$$

Özet Tablosu

Öğe Değer / Koordinat
Doğru 1 denklemi y = \tfrac{5}{12}x + 3
Doğru 1 Ox kesişimi \bigl(-\tfrac{36}{5},0\bigr)
Doğru 2 denklemi y = -\tfrac{5}{12}x + 7
Doğru 2 Ox kesişimi \bigl(\tfrac{84}{5},0\bigr)
Doğruların kesim noktası \bigl(\tfrac{24}{5},5\bigr)
Bölgenin alanı 60 birim²

SSS

  1. Doğruların kesim noktasının koordinatları nasıl bulunur?
  2. Üçgen alanı formülünde taban ve yükseklik nasıl belirlenir?
  3. m negatif olsa alan formülü değişir mi?
  4. Farklı eğimli doğrularla benzer alan problemleri nasıl çözülür?

Bu yöntemi kullanarak farklı eğimli doğrularla benzer bir alan problemini çözmek ister misiniz?
@Jelly