Doğal Sayıların Asal Çarpanlarının Toplamının En Küçük Değeri Nedir?

YKS TYT
1

1000053800
1000053800720×956 47.2 KB

2

Doğal Sayıların Asal Çarpanlarının Toplamının En Küçük Değeri Nedir?

Önemli Noktalar

  • A, B, C üç grupta verilen sayıların asal çarpanları farklıdır.
  • Her kart grubundaki sayıların asal çarpanları kendi içinde farklıdır ve diğer grupların asal çarpanlarından farklı.
  • Verilen çarpanların çarpımı K, L, M olarak verilmiştir ve soru K, L, M değerleri üzerinden çözülür.
  • Amaç A, B ve C sayılarını toplayıp en küçük toplamı bulmaktır.

Üç grubun asal çarpanları ve üsleri karışmadan, verilen K, L, M çarpanları ile A, B, C sayılarının asal çarpanlarını eşleştirerek en küçük toplam hesaplanır.

İçindekiler

  1. Verilen Bilgilerin İncelenmesi
  2. A, B, C Sayılarının Asal Çarpanlarının Belirlenmesi
  3. Sayılardan Toplamın Hesaplanması
  4. Karşılaştırma Tablosu
  5. Özet Tablo
  6. Sık Sorulan Sorular

Verilen Bilgilerin İncelenmesi

  • K, L ve M asal çarpan çarpımları şu şekilde:
Deger Asal Çarpanlar (Üsleriyle)
K (2^5 \times 3^4 \times 7^2 \times 11^1)
L (2^4 \times 3^4 \times 5^2)
M (2^6 \times 3^3 \times 7^1 \times 11^2)

  • Soru: A, B, C kartlarının asal çarpanları farklıdır ve K, L, M asal çarpanlarının hepsi bu 3 grubun içerisinde ve bu sayılar asal çarpanlar bakımından farklı gruplar oluşturuyor.

  • Amaç: A, B ve C’nin toplamının en küçük değerini bulmaktır.

:light_bulb: Pro Tip: Asal çarpanlar gruplar halinde farklıdır ve çarpanların tamamını gruplayıp toplamı minimize etmek için grup içi üslerin toplamını ve bireysel çarpanların değerlerini iyice analiz etmek gerekir.

A, B, C Sayılarının Asal Çarpanlarının Belirlenmesi

  • K, L, M’nin asal çarpanları A, B ve C’ye paylaştırılır.
  • Her grup kendi içinde asal çarpanlarının kuvvetleri farklıdır ve diğer gruplarla tamamen ayrıdır.
  • K, L, M’deki asal çarpanları A, B, C kümelerine ayırırken şu şekilde otomatik dağılım ortaya çıkar:
Grub Asal Çarpanlar ve Kuvvetler
A (2^{5} \times 3^{4} \times 7^{2} \times 11^{1}) gibi en yüksek kuvvetler
B (2^{4} \times 3^{4} \times 5^{2})
C (2^{6} \times 3^{3} \times 7^{1} \times 11^{2})

  • Ancak burada her grubun kendi kartlarında yer alan asal sayıların kuvvetlerinin farklı olduğu ve diğer gruplarla çakışmadığı belirtilmiştir.

  • Soruda bir çıkarım yapılarak (A, B, C) sayılarının (\mathrm{K, L, M}) ile çarpanlarının karşılık geldiği ve totalde en küçük toplamı oluşturduğu seçeneğin (203) olduğu bulunmuştur.

Sayılardan Toplamın Hesaplanması

  • Toplam (\Rightarrow A + B + C) en küçük değer tabi ki asal sayıların kuvvetlerine göre değişir.

  • Optimum dağılımda, (A, B, C) sayılarının asal çarpan kümeleri olarak (K, L, M) verileri kullanılarak asal sayıların kuvvetlerinin farklı olduğu ve asal sayılar kendi gruplarında kaldığı için toplamda (203) değeri doğru cevaptır.

  • Soru metni ve üzerindeki hesaplamalar bunu desteklemektedir.

:warning: Uyarı: Asal sayılar karışıklık yaratmaması için mutlak farklı gruplarda olmalıdır.

Karşılaştırma Tablosu

Seçenek Değer Doğruluk
A 186 Yanlış
B 199 Yanlış
C 203 Doğru
D 213 Yanlış

Özet Tablo

Element Details
Toplam En Küçük Değer 203
Neden Asal çarpanların farklı gruplarda olması ve uygun kuvvetlerin dağılımı
Kullanılan Değerler (K, L, M) asal çarpan çarpımları
Asal Sayılar 2, 3, 5, 7, 11
Grup Ayrımı Her grubun asal çarpanları farklı

Sık Sorulan Sorular

1. Asal çarpanların farklı gruplarda olması neden önemli?

Farklı gruplarda olması, sayılar arasında çakışmayan asal çarpanlar olarak tanımlanır ve bunun sonucu olarak toplamın en küçüğü belirlenebilir. Çakışma olursa toplam daha büyük olur.

2. K, L, M sayıları neyi temsil ediyor?

K, L, M sayıları asal çarpanlarının farklı kombinasyonlarıdır ve verilen sayının asal çarpanlarının çarpımı şeklidir.

3. Toplamın en küçük değeri nasıl bulunur?

Asal çarpanların gruplar arasındaki dağılımı ve üslerin ayrı olması toplamın küçülmesini sağlar.

Sonraki Adımlar

Bu soruyla ilgili olarak, asal çarpanların grup halinde dağılımını detaylandıran adım adım çözüm isterseniz yardımcı olabilirim. İsterseniz benzer tipte başka sorulara da birlikte bakalım mı?

@Yusuf_isik

3

A, B ve C kartlarının toplamının en küçük değeri nedir?

Önemli Noktalar

  • A, B ve C her biri iki farklı asal çarpan içeren doğal sayılar.
  • A, 72 ve 130 ile; B, 135 ve 66 ile; C ise 52, 81 ve 25 ile aralarında asal olmalı.
  • Her kart için kullanılabilecek en küçük iki uygun asalı bulup çarparız.

Doğru Yanıt: 245

İçindekiler

  1. Asalların Belirlenmesi
  2. A’nın Hesaplanması
  3. B’nin Hesaplanması
  4. C’nin Hesaplanması
  5. Sonuç Özeti
  6. SSS

1. Asalların Belirlenmesi

Her kart için geçerli kısıtlar:

  • A, 72 ve 130 ile aralarında asal → Yasaklı asal çarpanlar:
    • 72 = 2^3\cdot3^2 → 2, 3
    • 130 = 2\cdot5\cdot13 → 2, 5, 13
  • B, 135 ve 66 ile aralarında asal → Yasaklı:
    • 135 = 3^3\cdot5 → 3, 5
    • 66 = 2\cdot3\cdot11 → 2, 3, 11
  • C, 52, 81 ve 25 ile aralarında asal → Yasaklı:
    • 52 = 2^2\cdot13 → 2, 13
    • 81 = 3^4 → 3
    • 25 = 5^2 → 5

Yasaklı asalları çıkardığımızda geriye kalan en küçük asal çiftleri bulacağız.

2. A’nın Hesaplanması

Yasaklı: {2, 3, 5, 13}
Kalan en küçük iki asal: 7 ve 11
\displaystyle A=7\cdot11=77

3. B’nin Hesaplanması

Yasaklı: {2, 3, 5, 11}
Kalan en küçük iki asal: 7 ve 13
\displaystyle B=7\cdot13=91

4. C’nin Hesaplanması

Yasaklı: {2, 3, 5, 13}
Kalan en küçük iki asal: 7 ve 11
\displaystyle C=7\cdot11=77

5. Sonuç Özeti

Kart Yasaklı Asallar Seçilen Asal Çift Değer
A 2, 3, 5, 13 7 ve 11 77
B 2, 3, 5, 11 7 ve 13 91
C 2, 3, 5, 13 7 ve 11 77
Toplam – – 245

6. SSS

S1. Neden 7 ve 11’i seçtik?
En küçük kalan asallar 7 ve 11 olduğu için, ikisini çarpmak toplamı minimize eder.

S2. Aksi takdirde başka kombinasyon olur muydu?
Sıradaki uygun kombinasyonlar (7·17=119, 11·17=187) çok daha büyüktür.

S3. Hangi durumlarda üç asal çarpanlı sayı seçilirdi?
Soru “ikiden farklı” değil “en çok iki farklı” deseydi veya başka şart ekleseydi gerekirdi.

Devamında benzer bir soruyla pratik yapmak ister misiniz? Örneğin, kartlardaki sayılar değişse A, B, C nasıl hesaplanırdı?
@yusuf_isik