- Aşağ,da verilen kutularin her birine üzerinde iki basamaklı
doğal sayılar yazan üçer kart atilacaktır.
Bu kartlarla ilgili aşağıdakiler bilinmektedir.
•
Sadece üç kart üzerindeki sayilar aynı olup diğerleri
farklidır.
Her kutuda bulunan kartların üzerindeki sayıların
•
toplamı eşittir.
Aynı olan kartlarin her biri farklı bir kutuya atiimis
olup bu kartlardaki sayılar, ait olduğu kutudaki kartlar
üzerindeki sayılardan en büyüğü ya da en küçüğü
değildir.
Buna göre, tüm kartlar üzerindeki sayıların toplamı en
A) 111
az kaçtır?
B) 114
c) 117
D) 120
E) 123
İki Basamaklı Doğal Sayılar Yazılı Kartların Toplamı
KULLANILAN TEMEL KURALLAR:
Bu problemin çözümünde iki basamaklı en küçük doğal sayıları (10, 11, 12...) kullanarak kutu toplamlarını eşitleme ve kartların büyüklük sıralaması kurallarını uygulama stratejisi kullanılır.
ÇÖZÜM ADIMLARI:
Adım 1 — Problem Verilerini Analiz Etme
- Toplam 3 kutu var ve her kutuda 3 kart bulunuyor (Toplam 9 kart).
- Sadece 3 kartın üzerindeki sayı aynı, diğer tüm kartlar birbirinden farklıdır.
- Aynı olan bu 3 kartın her biri farklı bir kutudadır.
- Bu aynı olan sayılar, bulundukları kutudaki kartların en büyüğü veya en küçüğü değildir. Yani her kutuda bir sayı bu sayıdan küçük, bir sayı ise bu sayıdan büyüktür.
- Her kutudaki sayıların toplamı birbirine eşittir.
- Tüm kartlar iki basamaklıdır (En küçük iki basamaklı sayı 10’dur).
Adım 2 — En Küçük Değerleri Belirleme
Toplamın en az olması için seçebileceğimiz en küçük iki basamaklı sayıları kullanmalıyız.
Aynı olan sayıya x diyelim. Her kutuda x’den küçük bir sayı ve x’den büyük bir sayı bulunmalıdır.
İki basamaklı en küçük sayı 10 olduğuna göre, her kutudaki en küçük sayıların farklı olması gerektiğini unutmadan 10, 11, 12 sayılarını seçelim.
Bu durumda x sayısı 10, 11, 12 sayılarından büyük olmalıdır. En küçük x = 13 seçilebilir (Çünkü kutularda x’den büyük sayılar da olmalı).
Adım 3 — Kutuları Oluşturma ve Toplamları Eşitleme
Kutulardaki sayıları şöyle kurgulayalım:
- 1. Kutu: 10, 13, c_1
- 2. Kutu: 11, 13, c_2
- 3. Kutu: 12, 13, c_3
Burada 13, kutudaki en küçük veya en büyük sayı olamaz kuralına göre c_1, c_2, c_3 değerleri 13’ten büyük olmalıdır. Ayrıca tüm sayılar farklı olmalıdır (13 hariç).
Kutu toplamlarını eşitlemek için:
10 + 13 + c_1 = 11 + 13 + c_2 = 12 + 13 + c_3 = T (Kutu Toplamı)
23 + c_1 = 24 + c_2 = 25 + c_3 = T
En küçük değerler için c_3’ü 13’ten büyük en küçük sayı olan 14 seçelim:
- c_3 = 14 ise T = 25 + 14 = 39 olur.
- 24 + c_2 = 39 \Rightarrow c_2 = 15 olur.
- 23 + c_1 = 39 \Rightarrow c_1 = 16 olur.
Kullanılan sayılar: 10, 11, 12, 13, 13, 13, 14, 15, 16. Hepsi iki basamaklı ve 13 hariç hepsi farklıdır. Koşullar sağlandı.
Adım 4 — Toplam Hesaplama
Her bir kutunun toplamı 39 olduğuna göre, tüm kartların toplamı:
39 \times 3 = 117 olarak bulunur.
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
CEVAP: 117 (C Şıkkı)
━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━━
TEMEL KAVRAMLAR:
1. Doğal Sayılar ve Basamak Kavramı
- Tanım: 0’dan başlayıp sonsuza giden sayılardır. İki basamaklı en küçük doğal sayı 10’dur.
- Bu problemde: Toplamın en az olması için 10 ve civarındaki sayılar tercih edilmiştir.
2. Veri Düzenleme (Sıralama Koşulu)
- Tanım: Bir veri grubunda bir sayının en büyük veya en küçük olmaması, o sayıdan hem daha küçük hem de daha büyük elemanların bulunması demektir.
- Bu problemde: Aynı olan 13 sayısı her kutunun “ortanca” elemanı olarak konumlandırılmıştır.
SIK YAPILAN HATALAR:
Aynı sayıları en küçük seçmek
- Yanlış: Aynı olan sayıları 10, 10, 10 seçmek.
- Doğru: Eğer aynı sayı 10 olsaydı, kutuda ondan daha küçük bir sayı (tek basamaklı) olması gerekirdi; ancak soruda tüm kartların iki basamaklı olduğu belirtilmiştir.
- Neden: Koşul gereği aynı olan sayı ortanca olmalıdır.
Bu sorudaki mantığı anladıysan, kutu sayısı veya kart sayısı değiştiğinde benzer bir çözüm yöntemi geliştirebilir misin?